최대고유진동수를 갖는 변단면 중공 보-기둥의 최적단면

2.1 중공단면을 갖는 일정체적 보-기둥의 정의

보는 일반적으로 수직하중만이 작용하는 구조로 해석하나, 복잡하고 거대한 구조물의 구성요소로 이용되는 경우에는 수직하중과 축하중이 함께 작용하는 경우가 빈번하다. 이 연구에서는 실구조에의 적용성을 강화하기 위하여 축하중의 작용을 고려하였다. 이 경우 축하중의 크기를 ‘0’으로 하면 순수하게 수직하중만을 받는 보가 되며, 축하중을 고려하면 보와 기둥의 혼합형태인 보-기둥으로 모형화할 수 있다.

Fig. 1(a)는 이 연구에서 대상으로 하는 정다각형 중공단면을 갖고, 지간길이가 l, 체적이 V이며, 양단이 회전 및 고정지점으로 지지되어 있는 보-기둥을 나타낸다. 정다각형 단면의 도심에서 꼭지점까지의 거리가 단면깊이 h이며, 꼭지점에서의 두께가 t이다. 본 연구대상 부재는 단면깊이 h가 단면의 축방향 좌표 x에 따라서 변화하는 변단면 보-기둥이며, 따라서 단면적 A 및 단면2차모멘트 I도 축방향 좌표 x에 따라서 변화하게 된다. Fig. 1(b)는 h가 축방향 좌표 x의 함수로 표현되는 형상함수를 나타낸다. 이 그림에서 h_e는 양단​(x = 0 및 x = l)에서 단면깊이이고, h_m은 중앙(x = l/2)에서 단면깊이이다. 축방향 좌표 x에서 h = h_ef(x/l)의 함수로 표현되며, f(x/l)는 h의 변화를 나타내는 형상함수이다. 부재의 체적은 h_e, h_m의 크기와 h의 형상함수에 상관없이 모두 일정한 체적 V를 갖는다.

Fig. 1.

Geometry of beam-columns

단면깊이 h의 형상함수 f를 결정하기 위하여 단면비와 두께비를 각각 다음과 같이 정의한다.

위의 식들에서 α는 단부의 단면깊이인 h_e에 대한 중앙에서의 단면깊이 h_m의 비율을 나타내며, β는 단면깊이 h에 대한 두께 t의 비율로 전 구간에 걸쳐 동일한 값을 갖는다.

단면깊이가 h인 정다각형 중공단면의 단면적 A 및 단면2차모멘트 I는 다음과 같이 산정된다.

위의 식들에 포함된 계수 c₁, c₂, c₃는 다음과 같다.

위의 식들에서 계수 c₁, c₂에 포함된 n은 정다각형 변의 수(n ≥ 3)이며, n이 ∞이면 원형단면으로 c₁과 c₂는 각각 π와 π/4로 수렴한다.

단면깊이 h를 부재의 축방향 좌표 x에 관한 형상함수 f로 나타내면 다음과 같다.

여기서, f = f(x/l)의 형상함수이다.

본 연구에서는 대상부재의 단면깊이 h가 직선, 포물선 및 정현 함수로 변화하는 변단면을 채택하였으며, 각각의 선형에 대한 형상함수 f를 산정하면 다음과 같다.

• 직선 변단면

• 포물선 변단면

• 정현 변단면

위의 식들에서 c₄ = α – 1이다.

주어진 단면비 α, 두께비 β 및 단면깊이 h로 정의되는 일정체적 중공 보-기둥의 체적 V는 다음 식과 같이 산출할 수 있고, 이 체적 V는 주어진 선형 및 정다각형의 변수 n에 관계없이 모든 중공 보-기둥에 대하여 일정하다.

위의 식에서 c₅는 단면깊이가 h_e로 일정한 등단면 중실 보-기둥의 체적 V에 대한 직선, 포물선 및 정현 변단면 중공 보-기둥의 체적비율로 그 값은 각각 다음 식들과 같다.

• 직선 변단면

• 포물선 변단면

• 정현 변단면

식 (13)을 이용하여 양단부에서 정다각형의 단면깊이 h_e를 일정체적 V로 나타내면 다음과 같다.

식 (17)을 이용하여 식 (3), 식 (4)의 A, I를 일정체적 V 및 형상함수 f로 나타내면 다음과 같다.

2.2 보-기둥의 동적 미분방정식 유도

Fig. 2는 일정체적 중공 보-기둥에 축하중 P가 작용하는 경우 대상부재의 진동형을 나타내고 있다. 본 연구에서 축하중 P는 압축하중을 (+)로 규정하였으며, 양 단부는 회전 및 고정지점으로 지지되어 있다.

Fig. 2.

Mode shape and parameters of the beam-column

이 그림에서 (x, w)는 보-기둥의 진동형을 나타내는 직교좌표계이다. Fig. 2에 보인 바와 같이 점선으로 표시된 부재축이 자유진동하게 되면 시간에 따라 변화하는 횡방향 변위가 발생하여 실선으로 표시된 진동형상을 갖게 된다. 이 때 W(x, t)는 변형이 발생하기 전 보-기둥의 축을 기준으로 측정된 진동변위로서 이를 조화진동식으로 표현하면 다음 식과 같다^[7].

이 식에서 w_x는 조화진동의 상대진폭으로 x만의 함수이며, ω_i는 rad/s의 단위를 갖는 고유각진동수(angular frequency), i(= 1,2,3,4,…)는 모드번호, t는 시간이다. 상대진폭을 부재 축방향을 따라 표시하면 Fig. 2의 실선과 같은 전형적인 보-기둥의 진동형이 그려진다.

Fig. 2에 보인 부재가 면내에서 진동하게 되면 Fig. 3에 나타낸 바와 같이 부재 미소요소에는 진동변위에 의한 전단력 Q, 휨모멘트 M 및 축하중에 의한 축방향력 P가 발생하게 된다. 또한 보-기둥이 진동하게 되면 W(x, t)는 시간 t에 따라서 상하의 직선운동을 하게 된다. 따라서 질량을 갖고 있는 보-기둥의 미소요소에는 직선운동 W(x, t)에 의하여 단위길이당 힘으로 정의되는 관성력 Fdx가 발생한다. 부재 미소요소에 작용하는 이 힘들의 동적평형방정식을 세우면 다음과 같다.

Fig. 3.

Loads subjected to beam element

일정체적 중공 보-기둥의 자유진동을 지배하는 미분방정식을 상미분방정식으로 유도하기 위하여 앞에서 나타낸 휨모멘트 M, 관성력 F를 변위항으로 나타내어야 한다.

휨-곡률 사이의 관계로부터 휨모멘트 및 그 미분값 dM/dx를 다음과 같이 구할 수 있다^[8].

식 (24)를 식 (22)에 대입하고 전단력 Q에 대하여 정리하면 식 (25)와 같고, 이로부터 dQ/dx를 구하면 식 (26)과 같다.

관성력 F를 변위항으로 나타내면 다음 식과 같다^[9].

위의 식에서 ρ는 부재재료의 질량밀도이다.

식 (26) 및 식 (27)을 식 (21)의 동적평형방정식에 대입하고 정리하면, 변단면 보-기둥의 자유진동을 지배하는 상미분방정식을 다음 식과 같이 구할 수 있다.

식 (4)의 단면2차모멘트식에 식 (9) - 식 (12)의 형상함수를 적용하여 식 (28)의 미분방정식에 포함된 dI/dx와 d²I/dx²를 선형별로 구하면 각각 다음의 식들과 같다.

• 직선 변단면

• 포물선 변단면 (0 ≤ x ≤ l)

• 정현 변단면 (0 ≤ x ≤ l)

공학문제에서 해석결과를 무차원양으로 표현하면 실차원 구조에 다양하게 적용할 수 있으므로 해석결과의 무차원화는 매우 중요하게 다루어지고 있다. 본 연구에서는 중공단면을 갖는 일정체적 보-기둥의 상미분방정식을 무차원양으로 유도하여 수치해석 과정 및 결과의 효율성을 높이고자 다음과 같은 무차원 변수들을 도입한다.

식 (37)에서 p는 축하중 P를 일정체적 V로 무차원화한 것으로 변단면의 종류, 정다각형의 변수, 단면비 및 두께비에 상관없이 무차원 하중 p를 서로 비교할 수 있다. 식 (38), 식 (39)의 (ξ, η)는 보-기둥의 진동형을 나타내는 직교좌표계 (x, w_x)를 지간길이 l로 정규화한 것이다. 식 (40)은 무차원 고유진동수이며, 이 식에서 i는 모드번호이다.

이상의 무차원 변수들을 이용하면 앞에서 유도한 변단면 보-기둥의 자유진동을 지배하는 상미분방정식을 무차원화할 수 있다. 식 (18), 식 (19) 및 식 (29) - 식 (36)을 변단면 선형별로 대입하고, 무차원 변수인 식 (37) - 식 (40)을 이용하면 식 (28)의 미분방정식을 다음과 같이 무차원화할 수 있다.

식 (41)의 무차원 상미분방정식에 포함되어 있는 계수 a₁, a₂, a₃ 및 a₄는 변단면 선형별로 다음의 식들과 같다.

• 직선 변단면

• 포물선 변단면 (0 ≤ ξ ≤ 1)

• 정현 변단면 (0 ≤ ξ ≤ 1)

2.3 경계조건

유도된 미분방정식 식 (41)에 단부조건별 경계조건을 적용하여 수치해석 함으로써 다양한 단부조건에 대한 해석결과를 얻을 수 있다. 본 연구에서는 보-기둥의 단부조건으로 회전 및 고정지점을 채택하였으며, 이들 조건에 대한 경계조건식들을 무차원량으로 나타내면 다음과 같다^[10].

회전지점의 경우 진동변위와 식 (23)의 휨모멘트가 “0”이므로 다음의 무차원 경계조건식이 유도된다.

고정지점의 경우에는 진동변위와 단부에서의 회전각이 “0”이므로 다음의 무차원 경계조건식이 유도된다.

이상에서 유도된 식 (41)이 중공단면을 갖는 일정체적 보-기둥의 자유진동을 지배하는 무차원 상미분방정식이며, 식 (58) - 식 (61)의 무차원 경계조건을 적용하면 수치해석 기법에 의해 무차원 고유진동수를 산출할 수 있다.

3.1 수치해석방법 및 검증

본 연구에서 유도한 변단면 중공 보-기둥의 자유진동을 지배하는 무차원 상미분방정식의 정확해는 구할 수 없으므로 수치해석 기법을 이용하여 수치해를 산출한다. 이를 위해서 지배미분방정식의 수치적분과 지배미분방정식에 포함된 고유치인 무차원 고유진동수를 산정할 수 있는 수치해석기법이 적용되어야 한다. 본 연구에서는 미분방정식을 수치적분하기 위하여 진동문제에 많이 이용되고 있는 4차 Runge-Kutta법^[11]을 이용하였다. 또한 지배미분방정식에 포함된 고유진동수를 산정하기 위한 시행착오적 행렬값 탐사법에서 가정한 고유진동수를 참 값의 고유진동수에 근접시키는 수치해석 기법을 적용하였다.

Table 1은 본 연구의 이론적 전개과정 및 수치해석과정의 타당성을 검증하기 위하여 문헌^[12]의 결과와 본 연구의 수치해를 비교한 것이다. 해당 문헌은 원형과 정사각형 중공단면을 갖는 보-기둥의 자유진동에 관한 수치해석적 연구로, 제 변수 변화에 따른 무차원고유진동수의 변화를 고찰한 논문이다. 문헌에서 정의한 단면형상 및 변단면 형태 등의 조건과 일치시키기 위하여 제 변수를 표에 나타낸 바와 같이 적용하였다. 이 연구와 문헌의 결과를 살펴보면 원형(n = ∞) 및 정4각형(n = 4) 단면에 대한 C_i값의 오차가 매우 작게 나타나 본 연구에서 유도한 이론식 및 수치해석과정의 타당성을 검증할 수 있다.

Table 1.

Comparison of frequency between this study and reference[12]

3.2 자유진동 해석

Fig. 4는 회전-회전의 단부조건을 갖고, n = 3, β = 0.2, p = 1.0인 중공 보-기둥의 단면비 α에 따른 무차원 고유진동수 C_i의 변화를 나타낸 것이다. α값이 증가하면 C_i는 증가하다가 정점에서 최대치를 보인 후에 다시 감소한다. 따라서 C_i값이 최대가 되는 α값이 존재함을 알 수 있으며, 이때의 α값이 주어진 조건에서 무차원고유진동수가 가장 큰 단면비이다. 이 그림에서는 제1무차원 고유진동수 C₁값이 최대가 될 때의 (α, C₁) 좌표를 ▲로 표시하였다. 그림에 나타낸 보-기둥의 경우 α = 1.8에서 C_i = 15.04로 최대값을 갖는다. 이러한 결과를 이용하면 주어진 조건에서 C₁값이 최대가 되는 보-기둥의 기하형상을 결정할 수 있다.

Fig. 4.

Ci–α curves

한편 이 그림을 살펴보면 α값의 증가에 따라 제1무차원 고유진동수 C₁값이 감소하다가 끝내 “0”이 되는 것을 알 수 있다. 이 때 대상부재는 동적개념에 의해 산정된 좌굴영역에 놓여 불안정한 상태가 된다. 즉 C₁ = 0일 때의 α값이 대상 보가 좌굴에 대한 안정을 유지할 수 있는 임계값이며, 이 값을 그림에 ○로 표시하였다. Fig. 4에 나타낸 보-기둥의 경우 0.47 < α < 2.58의 범위가 대상 보의 안정영역이며, α < 0.47과 α > 2.58의 범위는 불안정영역이 된다.

3.3 최적단면 결정

앞의 Fig. 4에서 살펴본 바와 같이 단면비 α가 증가함에 따라 무차원 고유진동수 C_i는 증가하다가 정점에서 최대치를 보인 후에 다시 감소한다. 무차원 고유진동수 C_i값이 최대일 때 대상부재는 질량대비 강성이 가장 크다. 이 논문에서는 물리적으로 가장 중요한 의미를 갖는 제1무차원 고유진동수가 최대가 되는 단면비를 최적단면비 α_opt로 정의하였다. 이러한 최적단면비 α_opt에 영향을 미치는 영향인자는 무차원 하중 p와 두께비 β이다. 이 연구에서는 실구조의 설계에 유용하도록 p와 β에 따른 α_opt의 관계식을 제시하고자 한다. 여기에서는 선형 변단면, 원형단면을 갖는 부재에 대하여 고찰하였다.

Fig. 5는 회전-회전의 단부조건을 갖고, β = 0.2인 중공 보-기둥의 단면비 α에 따른 무차원 고유진동수 C_i의 변화를 하중단계별로 나타낸 것이다. 이 그림에 보인 바와 같이 각각의 하중단계에서 무차원 고유진동수가 최대가 되는 α_opt값을 산정할 수 있다. 예로서 그림에 나타낸 p = 1.0인 경우 최적단면비 α_opt = 0.602에서 최대무차원고유진동수 C_max = 5.111로 계산되었다. 또한 이 그림에서 무차원 고유진동수가 “0”이 되어 대상부재가 좌굴되는 불안정영역이 존재함을 알 수 있다. 예로 나타낸 p = 1.0인 경우 α = 0.292와 α = 1.049에서 무차원 고유진동수가 “0”이 됨을 알 수 있다. 즉 해당 조건의 보-기둥에서 제1무차원 고유진동수는 0.292 < α < 1.049 사이에서만 존재하며, α ≤ 0.292 또는 α ≥ 1.049의 구간은 무차원 고유진동수가 “0”이 되는 영역, 즉 불안정영역에 해당하게 된다. 이 연구에서는 무차원 고유진동수 C가 존재하는 최소 단면비를 α_min, 최대 단면비를 α_max으로 나타내었다. 또한 이 그림에서 무차원 고유진동수가 존재하는 안정영역, 즉 α_min ≤ α ≤ α_max는 무차원 하중 p가 커질수록 점점 좁아짐을 알 수 있다.

Fig. 5.

Ci–α curves by load parameter

Fig. 6은 Fig. 5에 보인 하중단계별 안정영역과 최적단면을 3차원 그림으로 나타낸 것이다. 그림에 보인 모든 하중단계에서 단면비 α가 증가함에 따라 제1무차원 고유진동수 C는 증가하다가 감소하며, 이 때 C가 최대값을 갖는 α_opt가 존재함을 잘 보여주고 있다. 또한 모든 하중단계에서 C값이 “0”이 되는 구간, 즉 불안정영역이 존재함을 알 수 있다. 그림에 볼록하게 표시된 구간은 무차원 고유진동수 C가 존재하는 동적 안정영역이며, 이는 무차원 하중 p값이 커질수록 점점 좁아지다가 마침내 어떤 단면비를 갖더라도 C = 0이 되는 p값이 존재한다. 이 때 대상 보-기둥은 물리적으로 좌굴된 상태이며, 이때의 p값이 동적개념에 의해 산정된 좌굴하중이다. 이 그림에서 보인 보-기둥을 예로 들면 p = 1.71이 대상 부재가 저항할 수 있는 최대의 무차원 하중이며, 이때의 단면비 α_opt = 0.636이 최대의 강성을 갖는 단면비이다. 즉 그림에 보인 부재는 p > 1.71이 되면 어떠한 단면비에서도 좌굴하여 불안정한 상태에 들게 된다.

Fig. 6.

Ci–p–α curves

Table 2는 하중단계에 따른 α_opt, C_max, α_min 및 α_max를 단부조건별로 나타낸 것이다. 여기에서 회전-회전의 조건은 Fig. 6에 나타낸 보-기둥의 값을 나타낸 것이다. 이 표를 보면 최적 단면비 α_opt, 최대의 무차원 고유진동수 C_max 및 안정영역의 한계값이 되는 α_min과 α_max는 무차원 하중 p에 따라 달라짐을 알 수 있다. 또한 무차원 하중 p가 증가함에 따라 최대 무차원 고유진동수 C_max는 점점 감소하다가 결국 “0”에 이르게 되며, “0”이 되기 직전의 C_max값을 갖는 p가 대상 부재가 저항할 수 있는 최대의 무차원 하중 p_max이다. 이 표에서는 회전-회전의 단부조건을 갖는 부재의 p_max = 1.71, 회전-고정은 p_max = 1.88, 고정-고정은 p_max = 2.60의 값을 갖는다. 즉 이 값 이상의 무차원 하중이 작용하게 되면 대상부재는 좌굴되어 동적 저항능력을 상실하게 된다.

Table 2.

Dynamic optimal shape and stability region by p

Fig. 7은 Table 2에 나타낸 보-기둥의 하중 p와 최적 단면비 α_opt, 최소 단면비 α_min 및 최대 단면비 α_max 사이의 관계를 그림으로 나타낸 것이다. Fig. 7(a)는 회전-회전, Fig. 7(b)는 회전-고정, Fig. 7(c)는 고정-고정의 단부조건을 갖는 부재에 대하여 나타내었다. 이 그림들에서 실선은 무차원 하중 p에 따른 최적 단면비 α_opt의 변화를 나타낸 것이며, 점선은 α_min과 α_max으로 나타낸 안정영역을 나타낸다. 즉 점선으로 표시된 부분의 안쪽이 안정영역에 해당되며, 점선의 바깥부분이 불안정영역이다. 여기에서 ◆로 표시된 점은 부재를 변단면으로 제작하는 경우 최적 단면비 α_opt에서 갖게 되는 최대 무차원 하중 p_max이며, ●로 표시된 점은 동일한 체적의 등단면 부재, 즉 α = 1.0에서 갖게 되는 최대 무차원 하중 p_max값을 나타낸 것이다. 이 값을 비교해보면 Fig. 7(a)에 보인 조건의 등단면(α = 1.0) 부재에 비하여 동일 조건의 변단면(α = 0.636) 부재는 동일체적에서 1.71/1.14 = 1.50으로 동적 강성이 50 % 증가함을 알 수 있다. Fig. 7(b)의 경우에는 등단면(α = 1.0) 부재에 비하여 동일 조건의 변단면(α = 0.687) 부재가 1.88/1.49 = 1.26으로 26 %, Fig. 7(c)의 경우에는 등단면(α = 1.0) 부재에 비하여 동일 조건의 변단면(α = 0.524) 부재가 2.60/1.67 = 1.56으로 56 % 증가함을 알 수 있다. 따라서 이 연구의 결과를 이용하면 동일한 체적과 지간길이에서 등단면 보-기둥에 비하여 동적 강성이 매우 우수한 변단면의 형태를 결정할 수 있다.

Fig. 7.

p–αopt curves

실구조의 설계에 쉽게 적용할 수 있는 예를 보이고자 Fig. 7에 실선으로 나타낸 그래프를 회귀분석하여 p와 α_opt의 관계식을 아래와 같이 산정하였다. 이 식들을 이용하면 주어진 조건하에서 무차원 하중 p값에 따른 최적단면비 α_opt값을 쉽게 산정할 수 있다. 단, 여기에 나타낸 p–α_opt 관계식은 주어진 단부조건 및 두께비에만 해당된다.

앞에서 언급한 바와 같이 최적단면비 α_opt에 영향을 미치는 영향인자는 무차원 하중 p와 두께비 β이다. 이제 여기에서는 두께비 β에 따른 α_opt의 관계식을 제시하고자 한다. 마찬가지로 실구조에서 가장 많이 이용되는 선형 변단면과 원형단면을 갖는 중공 보-기둥에 대하여 β에 따른 안정영역과 최적단면의 예를 나타내었다.

Table 3은 두께비 β에 따른 최적단면비와 안정영역의 예를 단부조건별로 나타낸 것이다. 이 표를 보면 최적 단면비 α_opt, 최대의 무차원 고유진동수 C_max 및 안정영역의 한계값이 되는 α_min과 α_max는 모두 두께비 β에 따라 달라짐을 알 수 있다. 또한 두께비 β가 증가함에 따라 최대 무차원 고유진동수 C_max는 점점 감소하며, 안정영역의 범위 α_min < α < α_max 값도 그 범위가 점점 줄어든다. 이는 β값이 커질수록 동일체적에서 세장비가 커지게 되고, 이에 따라 동적강성이 저하되어 나타나는 결과이다. β = 0.1인 중공단면에 비해 β = 1.0인 중실단면의 최대 무차원 고유진동수 C_max를 비교하면, 회전-회전의 단부조건을 갖고, p = 0.1인 경우에는 77.38 %, 회전-고정, p = 0.3인 경우 76.09 %, 고정-고정, p = 0.5인 경우에는 77.40 % 감소한다. 중실단면에 비해 중공단면의 동적강성이 매우 우수함을 알 수 있다.

Table 3.

Dynamic optimal shape and stability region by β

Fig. 8은 두께비 β와 최적 단면비 α_opt, 최소 단면비 α_min 및 최대 단면비 α_max 사이의 관계를 그림으로 나타낸 것이다. 이 그림들에서 실선은 β와 α_opt의 관계를 나타낸 것이며, 점선은 α_min과 α_max으로 나타낸 안정영역을 나타낸다. 점선 안쪽 부분이 안정영역, 점선의 바깥부분이 불안정영역이다. 이 그림들을 회귀분석하여 β와 α_opt의 관계식을 아래와 같이 산정하였다. 이 식들을 이용하면 주어진 조건하에서 두께비 β값에 따른 최적단면비 α_opt값을 쉽게 산정할 수 있다. 단, 여기에 나타낸 β–α_opt 관계식은 주어진 단부조건 및 무차원 하중에만 해당된다.

Fig. 8.

β–αopt curves