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Yura^[4]는 비틀림이 연속 브레이스된 보의 LTB 강도식으로부터 중간 브레이스의 강성 요건을 도출하였다. 그는 Fig. 2와 같이 거더의 초기회전처짐(θ₀)의 크기를 L_b/500h_o(L_b : 비지지 길이, h_o : 플랜지 중심간 거리)로 가정하고 ‘이상강성(ideal stiffness)’의 2배의 강성이 적용되면 LTB 강도에 이르렀을 때 거더의 회전변위(θ)가 1.0θ₀ 정도로 제한되어 브레이싱 부재력이 크지 않을 것이라고 판단하였다. 여기서 ‘이상강성’은 횡지지점 사이에서 LTB가 발생하기 위한 임계강성에 해당된다. 이로부터 이상강성의 2배를 중간 브레이싱의 필요 강성으로 정의하되 거더의 LTB 강도 대신 최대 휨모멘트(M_u)를 적용하였다.

Fig. 2. 
Initial imperfection model

Steel bridge design handbook^[9],[10]에서는 Yura의 제안을 채택하여 중간브레이싱의 필요 강성 (β_T)_req를 다음과 같이 제시하였다.

여기서, ϕ_sb : 저항계수(= 0.8), n : 중간다이아프램 수, E : 강재의 탄성계수(= 210,000 MPa), I_yeff : 거더의 연직축에 대한 유효단면2차모멘트(mm⁴), L : 지간(mm), M_u : 고정하중 및 시공활하중에 의한 계수 휨모멘트(N·mm), C_b : 모멘트경사 수정계수이다.

한편, 브레이싱 시스템의 실제 강성 (β_T)_act는 Yura의 제안으로부터 다음 식으로 정의된다.

여기서, β_br : 브레이스의 강성(N·mm/rad), β_sec : 단면의 뒤틀림 강성(N·mm/rad), β_g : 거더의 면내 휨강성(N·mm/rad)이다.

다이아프램이 거더 높이의 중간에 설치되는 경우 β_br은 다음과 같다.

여기서, I_b : 다이이프램의 단면2차모멘트(mm⁴), S : 거더 간격(mm)이다.

단면의 뒤틀림 강성은 다음 식으로 구한다.

여기서,

여기서, D : 거더 웨브 높이(mm), t_w : 거더 웨브 두께(mm), b_s : 이음판의 폭(mm), t_s : 이음판의 두께(mm)이다.

이음판이 Fig. 3와 같이 거더 웨브 전체 높이에 걸쳐 설치되는 경우, h_b 구간의 강성은 매우 큰 것으로 가정하고 h_c와 h_t 부분의 강성 β_secc와 β_sect는 식 (4b)에서 h_i에 각각 h_c와 h_t를 대입하여 구해진다, 단, 브레이싱의 높이(h_b)가 거더 높이의 0.8배 이상이면 β_sec은 무한한 값으로 간주한다.

Fig. 3. 
Connection plate geometry

한편 거더의 면내 강성은 다음 식으로 정의된다.

여기서, n_g : 거더 수, I_x : 거더 강축방향 단면2차모멘트(mm⁴)이다.

NCHRP 연구^[11]에서는 크로스프레임 방식을 적용하고 ‘임계초기처짐’(the critical shape of imperfection)^[5]을 적용한 3차원 모델의 해석으로부터 거더의 휨강도와 거더의 회전변위 관계를 분석하였다. 임계초기처짐은 거더의 휨모멘트가 최대인 브레이싱 위치에서 Fig. 2의 초기처짐을 갖는 형태이다. 이로부터 LTB 강도에 도달할 때 브레이스 위치의 거더 회전변위(θ)가 초기회전처짐(θ₀)을 초과하지 않기 위해서는 식 (1)을 다음 식 (6)으로 증가시키도록 제안하였다.

한편 Han and Helwig^[8]는 거더 전체 높이에 해당하는 크로스프레임을 적용한 연구로부터 거더의 비틀림좌굴이 적절히 구속되어 크로스프레임의 부재력이 비교적 작게 발생하는 결과를 얻었다. 이로부터 최근 AASHTO LRFD 기준^[3]은 크로스프레임 또는 다이아프램의 높이가 0.8D 이상이면 식 (1)을 적용하고, 그 외의 경우 식 (6)을 적용하는 것으로 반영되었다.

다이아프램(β_br과 연계)과 이음판(β_sec과 연계)의 적정 제원을 고찰하기 위해 4-거더를 기본모델로 고려하였으며 제원은 Fig. 4와 같다. 강재는 주거더를 포함하여 다이아프램과 이음판 모두 HSB380으로 하였다. 거더의 웨브는 1,800×18 mm로 하여 웨브의 탄성 판좌굴을 배제하였으며, 플랜지는 450×35 mm로 하여 조밀플랜지를 적용하였다. 거더 간격(S)은 2,400 mm로 하였으며, 다이아프램의 간격(L_b)은 7,000 mm로 하여 지간 L = 28,000 mm의 단순교를 고려하였다. 한편, 거더 수에 따른 영향(β_g와 연계)을 평가하기 위해 3-거더와 5-거더를 포함하였다.

Fig. 4. 
Girder and diaphragm scheme

해석 경우를 Table 1에 정리하였다. 다이아프램의 높이는 종래^[1] 및 현재 기준^[3]의 최소 높이 규정을 고려하여 0.5D, 0.67D, 0.75D의 세 경우를 고려하였으며, 다이아프램과 주거더의 단면2차모멘트비(I_b/I_x)를 제시하였다. 외측 거더에서의 이음판은 편측(거더 내측)에만 설치하고 제원은 식 (6)을 만족하도록 결정하였으며(case-1, case-2 및 case-3), 0.5D 경우에는 식 (1)을 만족하는 이음판(case-1a)을 포함하였다. 식 (1) 및 식 (6)에서 M_u는 AASHTO LRFD 기준 6.10.8.2.3의 LTB 강도 M_nc로 고려하였으며, 이는 M_u의 상한치에 해당될 것이다.

다이아프램 사이에 중간수직보강재 1개를 설치하는 것으로 하였다. 즉, 수직보강재의 간격은 3,500 mm이다. AASHTO LRFD 기준의 6.10.11.1.3에 따라 중간수직보강재의 필요 단면2차모멘트(I_t1)를 산정하면 5.25 × 10⁶ mm⁴이며, 편측 설치 시 해당 제원은 113×11 mm가 된다. 이로부터 중간수직보강재 150×14 mm를 웨브 편측에 설치하였다. 한편 중간수직보강재 대비 외측거더 이음판(편측 설치)의 단면2차모멘트(I_con)의 비를 Table 1에 제시하였다. 내측 거더에서 이음판은 150×14 mm가 거더 양측에 설치되므로 내측 거더에서 β_sec은 충분히 크다.

거더의 초기처짐은 ‘임계초기처짐’^[5]을 적용하였다. 즉, 휨모멘트가 최대인 중앙 다이아프램 위치에서 Fig. 2와 같이 압축플랜지가 횡방향으로 L_b/500 이동하는 형태의 초기회전처짐(θ₀)을 적용하였다. 초기처짐은 Fig. 5에 보인 바와 같이 모든 거더에 동일하게 적용하였다.

Fig. 5. 
Initial imperfection and boundary conditions (plan view)

웨브 부분의 잔류응력이 휨강도에 미치는 영향은 미소하여^[14] 잔류응력은 플랜지에만 고려하였다. Fig. 6에 보인 바와 같이 웨브에 접하는 플랜지 중앙에서 양측으로 1.1 t_f에 해당하는 38 mm 구간에는 +1.0 F_y의 인장잔류응력을 가정하였으며^[15], 이 때 압축잔류응력의 크기는 자체평형으로부터 –0.2 F_y가 된다.

Fig. 6. 
Residual stress model

ABAQUS 프로그램^[16]을 사용하여 재료 및 기하 비선형해석으로 휨강도를 평가하였다. HSB380의 재료모델은 Fig. 7과 같이 이상화하였으며, von Mises 항복규준을 적용하였다. 모든 파트는 S4R 쉘요소로 모델링하였으며, 요소의 크기는 50 mm 내외로 충분히 세분화하였다. 지지조건은 단순교에 해당하도록 부여하였으며(Fig. 5 참조), 하중은 웨브와 접하는 상부플랜지에 등분포 선하중으로 재하하였다.

Fig. 7. 
HSB 380 material model

FE 해석에 의한 case-1의 변형을 Fig. 8에 예시하였으며, 모든 case에서 최대 휨강도 도달 시 동일한 변형 형상을 보였다. 거더의 연직변위는 G1 거더에서 G4 거더로 갈수록 큰데, 그 이유는 Fig. 9에 보인 바와 같이 다이아프램의 휨변형에 수반하는 전단력이 거더에 연직력으로 작용하기 때문이다. FE 해석에 의한 휨모멘트(M_FEA)와 LTB 강도(M_nc)의 비(M_FEA/M_nc) 대비 G4 거더의 연직처짐을 Fig. 10에, 그리고 G1 거더의 회전변위비(θ/θ₀)를 Fig. 11에 보였으며, 각 case 별 최대 휨모멘트비(MFEAmax/Mnc)와 이 때의 외측거더 회전변위비(θ/θ₀)를 Table 2에 제시하였다. M_nc는 AASHTO LRFD 기준으로부터 1.2038×10¹⁰ N·mm로 산정되며, M_FEA는 모멘트경사 수정계수 C_b(본 모델에서 1.06)을 고려한 것이다.

Fig. 8. 
Ultimate failure shape (case-1)

Fig. 9. 
Vertical force from braces

Fig. 10. 
M_FEA/M_nc vs. vertical displacement at G4

Fig. 11. 
M_FEA/M_nc vs. θ/θ₀ at G1

Fig. 10으로부터 다이아프램의 높이가 0.5D인 case-1과 case-1a도 LTB 강도 도달 시까지 연직처짐은 선형에 가까운 거동을 보인다. 한편 Fig. 11으로부터 회전변위는 브레이싱 강성이 증가할수록 감소하는 결과를 보이며, 브레이싱 강성이 식 (6)을 만족하는 경우(case-1, case-2, case-3) 최대 휨강도 도달 시 초기회전처짐(θ₀)의 0.5배 내외, 식 (1)을 만족하는 경우(case-1a) 0.6배 정도로써 1.0θ₀ 이하이다.

Table 2로부터 모든 case에서 M_nc를 초과하는 휨강도를 보이며, 다이아프램의 높이 0.5D에서 1.026배, 0.75D에서 1.052배이다. 따라서 다이아프램의 높이가 0.5D, 즉 다이아프램의 단면2차모멘트(I_b)가 I_x의 5.5 % 수준에서도 이음판의 제원이 식 (6)을 만족하면 LTB 강도가 얻어졌다.

한편 M_FEA/M_nc = 1.0에서의 변위를 Table 3에 정리하였다. M_FEA/M_nc = 1.0일 때 거더의 연직변위는 브레이싱 강성에 관계없이 거의 같은 크기를 보인다. 회전변위는 식 (6)을 만족하는 강성 조건에서는 θ₀의 0.2배 내외, 식 (1)을 만족하는 강성 조건에서는 약 0.3배로서 Yura^[4]가 고려한 1.0θ₀에 비해 충분히 여유가 있다. 따라서 다이아프램의 응력은 크지 않을 것으로 예상되며, 이에 대해서는 4.3절에서 분석하였다. 한편, 브레이싱 강성이 증가함에 따라 횡변위는 감소하는 경향을 보이며, case-1과 case-3의 차이는 7 mm 정도로써 L/4,000에 해당된다.

거더 수가 휨강도에 미치는 영향을 평가하기 위해 case-1의 4-거더의 다이아프램과 이음판의 제원을 유지한 채 3-거더(case-1-3)와 5-거더(case-1-5)를 고려하였다. 거더 수가 변화하면 β_g 값이 변하여 Table 1에 보인 바와 같이 (β_T)_act가 변동하게 된다. 휨강도와 회전변위 결과를 Table 4와 Fig. 12에 제시하였다. 이로부터 거더 수가 작을수록 β_g 값과 (β_T)_act가 감소하게 되어 휨강도는 감소하고 회전변위는 커지는 결과를 보인다. 따라서 거더 수가 브레이싱 시스템의 강성에 영향을 미치며, 이는 β_g 인자로 고려됨을 보여 준다. 3-거더의 경우 식 (6)을 만족하지 않지만 거의 LTB 강도 M_nc에 도달하는 강도를 보인다.

Fig. 12. 
M_FEA/M_nc vs. θ/θ₀ according to no. of girders

이로부터 거더 수가 3개 이상일 때 다이아프램의 높이가 0.5D에서도 식 (6)의 강성 요건을 만족하면 LTB 강도의 확보가 가능함을 보여준다.

M_FEA/M_nc = 1.0일 때 외측 거더(G1, G4)의 이음판에 인접한 위치에서 다이아프램 플랜지의 수직응력(다이아프램 축방향)을 Table 5에 제시하였다. Table 5에서 플랜지폭 방향의 평균응력(avg.)은 브레이싱 강성이 증가함에 따라 감소하는 것을 보여준다. 반면 최대응력(max)은 다이아프램의 제원이 클수록 오히려 커진다. G1 거더의 이음판과 접하는 위치에서의 다이아프램 상·하 플랜지의 폭 방향으로의 응력분포를 Fig. 13에 제시하였다. 이로부터 플랜지의 중앙에서 상대적으로 큰 응력이 발생되며 다이아프램의 높이가 높을수록 이음판에 의한 응력집중 효과가 커지는 것을 보여준다.

Fig. 13. 
Diaphragm flange stresses at G1

하지만, 모든 case에서 플랜지의 최대응력은 주거더 항복강도(380 MPa)의 1/8에 불과하여 여유가 충분함을 보여 준다. 따라서 응력 측면에서는 다이아프램의 제원을 크게 할 이유는 없으며, 주거더보다 항복강도가 낮은 강재의 적용도 가능할 것으로 판단된다.

M_FEA/M_nc = 1.0일 때 다이아프램의 상·하 플랜지에 인접한 위치에서 이음판의 수직응력을 Table 6에 제시하였다. 이로부터 이음판의 응력 크기는 이음판 제원, 특히 두께와 밀접한 관계를 보이며 case-3의 경우 항복강도의 81 %에 해당하는 비교적 큰 응력을 보인다. 식 (6)을 만족하는 경우, 또는 식 (1)을 만족하는 경우에도 이음판의 응력은 항복강도 이하이지만 다이아프램 강성(β_br)을 크게 하고 이음판의 강성(β_sec)을 작게하기 보다는 β_sec을 크게 하고 β_br을 줄이는 것이 이음판의 응력 측면에서는 유리하다.

한편 이음판의 최소 제원에 대한 규정은 AASHTO LRFD 기준에서 제시되지 않았다. 본 예에서 중간수직보강재의 필요 제원이 113×11 mm이며, 이에 가까운 이음판 제원은 case-2이다. 이 때 응력은 항복강도에 비해 여유가 있다. 따라서 이음판의 최소 제원은 중간수직보강재의 단면2차모멘트(I_t1: AASHTO LRFD 기준 6.10.11.1.3) 이상으로 하는 것이 필요하며, 강재는 주거더와 동등한 강재를 적용하도록 제안한다.