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여유도 행렬 R은 작용 하중 조건과 무관하게 구조물의 기하학적 형태, 재료 특성, 부재 강성 등 고유의 특성만을 바탕으로 다음과 같이 계산한다.

여기서, I는 단위행렬, A는 평형행렬, 그리고 G는 축 강성 대각행렬을 나타낸다. 평형행렬 A는 트러스 구조물의 절점에서 작용하는 힘 f과 부재력 q의 관계를 나타내는 행렬로 다음의 관계를 가진다.

또한, 축 강성 대각행렬 G는 강성행렬(stiffness matrix)의 대각행렬을 의미하며, G의 성분 G_ij은 다음과 같이 나타낸다.

여기서, E_i와 A_i는 i번째 트러스 부재의 탄성계수와 단면적을 나타낸다.

부재 i의 DSI는 0.0에서 1.0 사이의 값을 가지며, DSI가 1.0이라는 것은 해당 부재가 변형에 완전히 구속되어 있어 제거하여도 하중 지지에 아무런 영향을 주지 않는 여유(잉여) 상태를 의미한다. 반대로, DSI가 0.0이면 부재가 변형에 자유로우며, 제거될 경우 구조물의 부분적 또는 전체적 파괴를 초래할 수 있는 매우 중요한 상태를 의미한다. 부재 i의 단면적이 A_i일 경우, 다른 부재 j가 가지는 DSI는 여유도 행렬 R의 j번째 대각성분에 해당하며, γjiAi로 표시한다. γiiAi는 부재 i의 단면적이 A_i일 경우, 부재 i의 DSI를 나타내며, 여유도 행렬 R의 i번째 대각선 성분이다. 참고로, 정정 구조물은 모든 부재의 DSI 값은 0이 되므로, 이를 적용할 수 없으며, 부정정 구조물에만 적용된다. 시스템 내 모든 부재의 DSI 총합은 부재들의 단면적에 상관없이, 구조물의 부정정 차수와 동일하다. 따라서, 부재 i의 단면적 A_i를 증가시키면 하중 지지에 중요한 역할을 하게 되어 자신의 DSI (즉, γiiAi)는 감소하게 된다. 이때 시스템 전체의 DSI 총합을 일정하게 유지하기 위해, 다른 부재들의 DSI (즉, γjiAi)는 증가하게 된다. 결과적으로, γjiAi의 변화량은 γiiAi의 변화량과 비례한다.

시스템 내 부재들은 각각 위치와 하중을 지지하는 정도가 다르기 때문에, 어떤 부재는 크게 단면적을 증가시켜도 다른 부재들의 DSI를 미소하게 변화시키는 반면, 어떤 부재는 큰 변화를 유발할 수 있다. 즉, 부재마다 DSI가 변할 수 있는 최대 범위가 다르다. 따라서, 단순히 절대적인 DSI 변화량만으로는 부재 간의 여유도를 비교하기 어렵다. 이를 위해, 각 부재가 발휘할 수 있는 최대 잠재적 변화량을 0에서 100 사이의 동일한 스케일로 정규화할 필요가 있다. MRI는 DSI의 변화량에 대한 정규화된 값이며, γjiAi에 대한 MRI MjiAi는 다음과 같이 계산한다^[12].

γjiAi의 변화량은 γiiAi의 변화량이 비례하므로, Eq. (4)의 MRI MjiAi는 다음과 같이 계산할 수 있다.

Eq. (5)에서와 같이 MjiAi는 γiiAi로 구성되기 때문에 부재 i의 단면적이 A_i일 경우, 부재 j의 MRI는 부재 i의 MRI와 동일하며 이를 다음과 같이 MiAi로 표현한다^[12].

MRI는 부재 i의 단면적 변화에 따라 발생하는 DSI 변화량을 해당 부재가 가질 수 있는 최대 잠재적 DSI 변화량으로 정규화한 값이다. 따라서, MiAi=0은 부재 i의 단면적이 0인 기준 상태와 동일하여, 단면적 증가에 따른 DSI 변화가 발생하지 않은 상태를 의미한다. 반면, MiAi=100은 부재 i의 단면적이 무한히 커지는 최대 DSI 변화가 모두 발생한 상태를 의미한다. 즉, MRI가 0에 가까울수록 해당 부재 자체가 구조시스템 내에서 완전 여유 상태에 있음을 뜻하여 단면 변화가 전체 여유도 분포에 미치는 영향이 작음을 나타내고, 100에 가까울수록 해당 부재가 발휘할 수 있는 최대 수준의 여유도 재분배 효과에 가까워짐에 따라 비여유 상태의 핵심 중요 부재가 되었음을 나타낸다.

부재 여유도를 나타내는 DSI와 MRI를 Fig. 1에 제시된 1차 부정정 트러스 구조에 적용한다. 여기서, 6개의 트러스 부재에 동일한 탄성계수를 적용하며, 부재 i의 단면적 A_i 변화에 따른 DSI γjiAi를 계산하기 위해, 부재 i를 제외한 나머지 부재의 단면적은 모두 1 cm²로 고정하였다. DSI γiiAi와 γjiAi는 앞서 설명한 바와 같이 Eq. (1)에서 정의된 여유도 행렬 R의 대각성분으로 산정하였다.

Fig. 1. 
A six-bar truss

Fig. 2는 부재 1, 부재 3, 그리고 부재 5의 단면적이 0 cm²에서 2 cm²으로 변화할 때, 해당 부재 및 나머지 부재의 DSI γiiAi와 γjiAi의 변화를 나타낸다. 예를 들어, 부재 1의 단면적이 0 cm²에서 2 cm²으로 변화하는 경우, Fig. 2(a)에서 보는 바와 같이, 해당 부재의 DSI γ11A1는 1에서 지속적으로 감소하여, 다른 부재의 DSI γj1A1는 0에서 증가한다. 또한, 모든 부재의 DSI 합은 1이 되는데, 이는 Fig. 1의 트러스 구조물의 부정정 차수와 일치한다. 한편, A₁=0 cm²일 때, γ11A1=1이 되며, 이는 부재 1이 하중 지지에 아무런 역할을 하지 않는 여유(잉여) 상태임을 의미한다. 이 경우 Fig. 1의 트러스 구조물은 정정구조물이 되며, 부재 1을 제외한 다른 어느 하나의 부재가 제거될 경우 구조물의 전체적 파괴를 초래한다. 이는 부재 1 이외의 다른 부재들의 γj1A1는 0이 되며, 이들 부재가 필수 상태에 있음을 의미한다.

Fig. 2. 
DSI of six members with variation in the cross-sectional area of members 1, 3, and 5

Fig. 2(b)와 Fig. 2(c)는 부재 3 또는 부재 5의 단면적 변화에 따른 다른 부재들과의 상대적 여유도 변화가 Fig. 2(a)와 유사한 경향을 보임을 나타낸다. 또한, 부재 1과 부재 2, 부재 3과 부재 4, 부재 5와 부재 6은 서로 동일한 γiiAi와 γjiAi의 값을 가지므로, Fig. 2에서는 부재 1, 부재 3 그리고 부재 5의 γiiAi와 γjiAi 변화만을 나타내었다.

Fig. 3는 Fig. 1의 6개 부재 트러스에서 각 부재의 단면적 증가에 따른 MRI의 변화를 나타낸다. 부재 1과 부재 2, 부재 3과 부재 4, 그리고 부재 5와 부재 6은 구조적 대칭성으로 인해 각각 동일한 MRI를 갖는다. 그러나, 동일한 단면적 증가에 대해서도 단면이 변화하는 부재의 위치와 하중 지지 역할에 따라 MRI 값은 서로 다르게 나타난다. Fig. 3에서 부재 3 또는 부재 4의 MRI가 가장 크게 나타나며, 부재 1 또는 부재 2가 그 다음으로 크고, 부재 5 또는 부재 6의 MRI가 가장 작게 나타난다. 이는 부재 3 또는 부재 4의 단면적 변화가 구조시스템 내 DSI 분포 변화에 가장 큰 영향을 미치며, 여유도 분포와 재료 배분에 상대적으로 민감하게 작용함을 의미한다.

Fig. 3. 
MRI of six members with variation in the cross-sectional area

트러스 부재 단면 최적화를 위해, Fig. 1에 제시된 6개 부재로 구성된 트러스 구조물을 적용한다. 이때, 트러스 부재에 사용된 강재는 탄성계수 E=210 GPa, 항복응력 f_y=250 MPa을 적용하였으며, 부재의 신뢰도 p_s,i를 계산하기 위해 다음의 상태함수(state function) g_i를 사용한다.

여기서, F_y는 부재의 항복력이며 R_i는 작용하중 P에 의한 부재력을 나타낸다. 작용하중 P는 평균 50 kN, 표준편차 10 kN인 정규분포를 따르는 확률변수로 가정한다. 또한, 항복응력 f_y는 평균 250 MPa, 표준편차 25 MPa인 정규분포를 따르는 확률변수로 가정한다. Eq. (9)에서 정의된 상태함수로 부재의 신뢰도 p_s,i를 다음과 같이 계산한다.

여기서, 확률변수 x는 Eq. (9)의 F_y와 R_i를 나타낸다. Fig. 5는 모든 부재의 단면이 동일한 경우에 대해, Eqs. (8c)와 (8d)를 제한조건으로 적용할 때 부재의 최소 요구 신뢰도 p_s,th에 따른 최적 단면의 변화를 나타낸다. p_s,th가 증가할수록 최적 단면의 크기도 증가함을 알 수 있다.

Fig. 5. 
Optimum cross-sectional area of the truss members presented in Figure 1 for the minimum required reliability of truss member, when all the cross-sectional areas are the same

Fig. 6는 Fig. 1의 트러스에서 부재 1과 부재 2, 부재 3과 부재 4, 그리고 부재 5와 부재 6이 각각 동일한 단면적을 갖는 경우, 제한조건 Eqs. (8c), (8d), (8e)와 (8f)을 적용할 때, 최소 요구 신뢰도 p_s,th, 최소 요구 부재 여유도 지수 M_th, 그리고 최소 요구 구조시스템 여유도 지표 R_d,th의 증가에 따른 최적 단면의 변화를 나타낸다. Fig. 5에서와 같이 Fig. 6(a)에서도 p_s,th의 증가에 따라 최적 단면의 크기가 증가한다. Fig. 6(b)에서는 M_th가 76.7까지 최적 단면적은 일정하게 유지되며, 이후 부재 5와 부재 6의 최적 단면적은 증가한다. 이는, Eq. (8e)의 M_th가 76.70보다 작을 경우 제한조건으로 활성화되지 않음을 의미한다. 반면, 부재 1과 부재 2의 최적 단면적은 다소 증가 후 감소, 부재 3과 부재 4의 최적 단면적은 감소 후 증가한다. 또한, 최적 단면적은 부재 5와 부재 6에서 가장 크고, 부재 3과 부재 4에서 가장 작다. M_th가 83.4보다 클 경우, 제한조건을 만족하는 최적 단면적은 존재하지 않는다. Fig. 6(c)에서는 p_s,th=0.9999, M_th=80으로 고정할 경우, 최소 요구 구조시스템 여유도 지표 R_d,th와 최적 단면의 변화를 보여준다. R_d,th의 변화에 따라 부재 5와 부재 6의 최적 단면이 항상 크게 나타난다. 또한, R_d,th가 0.19보다 큰 경우에는 최적해가 존재하지 않는다.

Fig. 6. 
Optimum cross-sectional areas of the truss members presented in Fig. 1 for changes in minimum required member reliability, minimum required member redundancy index, and minimum required structural redundancy, when the cross-sectional areas are grouped into three

10개 부재로 구성된 트러스의 단면 최적화를 위해 Fig. 7에 제시된 트러스 구조물을 적용한다. 부재에 사용된 강재의 탄성계수와 항복응력은 앞선 예제와 동일하며, 수직 방향으로 작용하는 두 개의 하중 P는 평균 40 kN, 표준편차 10 kN인 정규분포를 따르는 확률변수로 가정한다. 부재 단면의 최적화에서는 부재를 대각선 방향으로 배치된 부재(1, 5, 6, 9), 수평방향으로 배치된 부재(2, 4, 7, 10)와 수직방향으로 배치된 부재(3, 8)로 분류하며, 각 분류에 속한 부재들의 단면적은 동일하게 적용한다.

Fig. 7. 
A ten-bar truss

Fig. 8에서는 Eqs. (8c), (8d), (8e)와 (8f)의 제한조건에 대해 최소 요구 신뢰도 p_s,th, 최소 요구 부재 여유도 지수 M_th, 그리고 최소 요구 구조시스템 여유도 지표 R_d,th의 증가에 따른 최적 단면의 변화를 나타낸다. Fig. 8(a)에서는 Fig. 6(a)의 경우와 마찬가지로 Eqs. (8c)와 (8d)를 제한조건으로 적용하였으며, p_s,th의 증가에 따라 최적 단면의 크기가 증가함을 볼 수 있다. 또한, Fig. 8(b)에서는 p_s,th=0.9999로 고정하고 Eq. (8e)를 추가로 고려할 경우, M_th의 변화에 따른 최적 단면의 변화를 나타낸다. Fig. 8(c)에서는 Fig. 6(c)와 마찬가지로 p_s,th=0.9999와 M_th=80으로 고려한 경우 R_d,th의 변화에 따른 최적 단면의 변화를 나타낸다. Fig. 8에서 최적 단면은 대각선 부재 1, 5, 6, 9가 항상 가장 크며, 수직 부재 3과 수직 부재 8이 항상 작음을 보여준다.

Fig. 8. 
Optimum cross-sectional areas of the truss members presented in Fig. 7 for changes in minimum required member reliability, minimum required member redundancy index, and minimum required structural redundancy, when the cross-sectional areas are grouped into three

최소 요구 신뢰도 p_s,th의 변화에 따른 트러스 구조의 최소 부피 변화를 Fig. 9에 나타내었다. Fig. 9은 p_s,th가 0.9에서 0.9999로 변화할 때, Eq. (8d)만을 고려할 경우, 추가로 (8e)의 M_th=80을 제한조건으로 고려한 경우, 그리고 Eq. (8f)의 R_d,th=0.10까지 제한조건으로 추가한 경우를 비교하여 보여준다. 즉, Fig. 9에서는 제한조건의 조합에 따른 최소 부피 변화를 비교한 것이며, Fig. 8에서는 p_s,th, M_th, R_d,th의 개별 변화에 따른 최적 단면적의 변화를 나타낸다는 점에서 차이가 있다. 최소 요구 신뢰도 p_s,th만을 제한조건으로 고려한 경우(즉 Eq. (8d)만을 고려한 경우), 트러스 구조의 부피가 가장 작게 나타난다. 반면, 최소 요구 신뢰도 p_s,th, 최소 요구 부재 여유도 지수 M_th, 그리고 최소 요구 구조시스템 여유도 지표 R_d,th를 모두 제한조건으로 고려할 경우(즉, Eqs. (8d), (8e), 및 (8f)를 모두 적용할 경우), 트러스 구조의 부피가 가장 크게 요구된다.

Fig. 9. 
Comparison of the minimum volume of the truss system presented in Fig. 7 with changes in the minimum required member reliability

제한조건 조합이 최적 설계 결과에 미치는 영향을 검토하기 위해 Table 1과 같이 네 가지 해석 Case를 설정하였다. Case 1은 부재 신뢰도 제한조건 Eq. (8d)만을 고려한 경우이며, p_s,th=0.99로 설정하였다. Case 2는 Eq. (8d)에 부재 여유도 제한조건 Eq. (8e)를 추가한 경우로, M_th=80을 적용하였다. Case 3은 Eq. (8d)에 구조시스템 여유도 제한조건 Eq. (8f)를 추가한 경우로, R_d,th=0.10을 적용하였다. Case 4는 Eqs. (8d), (8e), 및 (8f)의 모든 제한조건을 동시에 고려한 경우이다.

Table 2에서 보는 바와 같이, Case 1은 Cases 1–4 중 가장 작은 부피인 22,559.5 cm³를 가지며, 최소 부재 여유도 지수는 76.80으로 나타난다. 그러나 이때의 최적 단면을 적용할 경우, 부재 1, 부재 3, 부재 4, 부재 8, 부재 9가 동시에 항복에 도달하여 첫 번째 항복 이후 추가적인 하중지지 능력이 확보되지 않으므로, 구조시스템 여유도 지표값은 0이 된다. Case 2에서는 Eq. (8e)의 M_th=80을 추가로 적용함에 따라 구조물의 부피가 27,870.1 cm³로 증가하며, 구조시스템 여유도 지표값은 0.048로 나타난다. Case 3에서는 Eq. (8e)의 M_th=80 대신 Eq. (8f)의 R_d,th=0.10을 적용하였으며, 이 경우 구조물의 부피는 24,385.6 cm³이고 최소 부재 여유도 지수는 75.35로 나타난다. Case 4에서는 모든 제한조건을 동시에 적용함에 따라 가장 큰 부피인 30,311.7 cm³가 요구된다.