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본문 6.11.11.2에서는 n = 1, 2에 대해 좌굴계수식을 다음 식 (1)로 제시하고 있다. 식 (1)은 종방향보강재가 매우 길다는 가정에 의한 것이어서 형상비 관련 변수가 포함되지 않는다.

여기서, 주목할 사항은 보강재는 T-단면으로 적용하되 단면2차모멘트(I_s)는 압축판의 면(즉, T-단면 보강재의 하단)에 대해 산정하도록 규정하고 있다.

한편, 해설부에서는 n ≤ 5, β ≤ 3인 조건에서 다음 식 (2)의 적용을 허용하고 있다.

여기서 β (= a/b)는 압축판의 세장비이다. 단, 본 기준에서는 식 (2)의 적용 시 T-단면 보강재의 Is=8wtf3 (t_f: 판의 두께, w: 서브패널 폭)가 되도록 규정하고 있어 판의 형상비와 목표 좌굴계수 크기에 따른 보강재의 제원을 유연하게 결정할 수 없다.

식 (2)는 Timoshenko and Gere^[7]가 에너지법으로 유도한 좌굴강도(F_cr) 식으로부터 최종 유도되는 다음 식 (3)을 토대로 한 것이다. 식 (3)은 형상비를 고려하고 목표 좌굴계수 값에 해당하는 보강재 제원의 선정이 가능하다.

여기서,

그리고, D=Etf3/121-ν2 : 판의 휨강성, ν (= 0.3) : 포아송 비, A_l : 보강재 1개의 단면적이며, γ와 δ는 각각 보강재 1개의 ‘휨강성비’와 ‘단면적비’이다.

Wang et al.^[8]은 압축판의 형상비와 목표 좌굴계수 값에 따라 보강재 제원을 결정할 수 있도록 하기 위해 식 (3)의 적용성을 평가하였다. 이를 위해 판의 형상비, 서브패널의 폭-두께비(λ_f = w/t_f), 그리고 보강재의 제원을 주요 변수로 하여 보강재 3개까지에 대해 좌굴고유치해석을 수행하였다. 수치해석 결과를 바탕으로 식 (3)에 수정계수(c_f)를 도입하여 좌굴계수 산정식을 다음 식 (5a) 및 식 (5b)로 제안하였다.

• β / β_cr ≤ 1.0일 때

• β / β_cr > 1.0일 때

여기서, β_cr은 식 (3)의 k_f가 최소값을 보이는 한계 형상비로서 다음과 같다.

Wang et al. 역시 식 (4a)의 γ 산정 시 I_s를 AASHTO 기준과 같이 보강재의 하단에 대한 단면2차모멘트로 고려하였다.

보강판의 좌굴고유치해석은 ABAQUS 프로그램^[9]으로 수행하였다. 판과 T-단면 보강재는 모두 S4R 쉘요소로 모델링하였으며, 요소의 크기는 20 mm × 20 mm 내외로 충분히 세분화하였다. 경계조건은 Fig. 2에 n = 5의 예를 보였으며, 여기서 U는 이동변위, R은 회전변위이다. Line A에는 x축 방향 이동변위(U_x)를 동일하게 부여하기 위해 ‘coupling: kinematic’ 옵션을 적용하였다.

Fig. 2. 
Loadings and boundary conditions (n = 5)

본 모델은 4변 모두 단순지지 조건에 해당하여 인접 패널에 의한 구속 효과(즉, continuity effect)를 고려하지 않으므로 안전측의 좌굴계수를 제공할 것이다. 한편 하중은 Fig. 2에 보인 바와 같이 압축플랜지와 보강재에 단위 압축응력(1 MPa)에 해당하는 선하중을 재하하였다.

한편, 보강재의 초기처짐을 고려하였으며 Fig. 3에 보인 바와 같이 종방향의 중앙선을 기준으로 횡방향으로는 중앙점에서 최대 1/50 rad 회전된 것으로 고려하였다.

Fig. 3. 
Initial imperfection of stiffeners at centerline

좌굴계수식의 도출을 위한 본 해석에 앞서 예비 분석을 수행하였다. n = 5, t_f32 mm, w = 600 mm로 하였으며 간격(a)과 보강재 제원은 Table 1에 제시하였다. Table 1에서 k_FEA는 좌굴고유치해석에 의한 좌굴계수이며 a =1,500 mm와 a =9,000 mm의 좌굴형상을 Fig. 4에 예시하였다(Fig. 4는 좌굴형상을 명확히 보이기 위해 요소 크기를 (a) 45 mm × 45 mm와 (b) 60 mm × 60 mm로 크게 한 것임).

Fig. 4. 
Buckling shapes : n = 5, t_f =32 mm, (a) a = 1,500 mm, T-135×200×12×12, (b) a = 9,000 mm, T-265×400×22×22

Table 1에서 I_s는 AASHTO 기준에 따라 T-보강재 하단에 대해 산정한 단면2차모멘트이다. 반면 I_sc는 압축판(총폭 b)과 보강재들이 이루는 총단면의 도심축에 대해 서브패널과 보강재가 이루는 단면(Fig. 5 참조)의 단면2차모멘트이다. 단, 도심축이 압축판의 면내에 있는 경우에는 I_s와 같다고 고려하였다. 이로부터 각 경우별 β_cr과 k_f를 식 (6)과 식 (3)으로부터 산정하였다.

Fig. 5. 
Considered section for I_sc (second moment of inertia of stiffener and sub-panel about centroid)

단면2차모멘트 산정 방식별 k_FEA / k_f 비를 Fig. 6에 도시하였다. 이로부터 AASHTO 방식으로 산정한 I_s 적용 시 형상비 변수 β / β_cr이 증가함에 따라 k_FEA / k_f 비가 다시 감소하는 결과를 보인다. 보강재 개수가 적은 경우 및 보강재 제원이 크지 않은 경우(일반적으로 형상비가 작을 때)에는 압축판과 보강재들이 이루는 총단면의 도심이 압축판 내 또는 보강재 하단 근처에 있게 된다. 이에 따라 Timoshenko and Gere는 압축판의 기여는 작으므로 무시하고 보강재의 단면2차모멘트를 보강재 하단에 대해 산정토록 규정하였으며^[7], AASHTO 기준도 이를 따르고 있다. 그러나, 보강재 수가 많은 경우와 보강재의 제원이 커지면 도심은 보강재의 스템 내에 존재하게 된다. 이 경우 I_s > I_sc가 되며, 따라서 Fig. 6으로부터 단면2차모멘트를 I_sc로 고려하는 것이 적절함을 알 수 있다.

Fig. 6. 
β / β_cr vs. k_FEA / k_f (k_f based on I_s and I_sc)

한편, β / β_cr이 작을수록 k_FEA / k_f 비가 감소하는 이유는 식 (3)의 k_f가 좌굴모드를 종방향과 횡방향으로 half-sine wave로 가정하여 유도된 반면, Fig. 4(a)에서와 같이 횡방향으로 보강재 위치에서 국부변형의 발생으로 인한 차이가 발생하며 β / β_cr이 작을수록 그 영향이 커지기 때문이다. 이를 고려하고자 Wang et al.^[8]은 n ≤ 3에 대해 수정계수(c_f)를 식 (7)로 제안하였다. 만약 n = 5인 경우에 적용하면 c_f = (β / β_cr)^1/6이 되며 이를 Fig. 6에 도시하였다. 이로부터 I_sc를 적용하더라도 보강재 개수가 많은 경우(n > 3)에는 보정계수를 새로이 도출하여야 함을 보여준다.

보강재 개수(n)는 3, 5, 7 및 9, 서브패널의 폭-두께비(λ_f)는 18.8과 33.3, 그리고 서브패널의 폭(w)은 600 mm, 형상비(a)는 15까지 고려하였다. a = 15일 때 간격(a)은 9,000 mm가 되는데, 이는 Hall and Yoo^[10]가 강박스거더교에서 뒤틀림응력(distortional stress)을 제한하기 위해 제안한 최대 간격 30 feet(=9.14 m)에 해당된다.

보강재의 제원은 형상비에 따라 식 (3)의 k_f가 4.0에서 1.0의 값을 갖도록 선정하였다. 좌굴해석 경우와 결과를 Table 2에서 Table 5까지 제시하였다. 이들 Table에서 보강재의 단면2차모멘트(I_s,min)은 다음과 같다.

• 총단면 도심이 압축판 내에 있는 경우 : 압축판의 기여는 무시하고 보강재의 압축판 면에 대한 단면2차모멘트(=I_s)

• 총단면의 도심이 보강재 스템 내에 있는 경우(Fig. 5) : 도심축에 대한 보강재와 서브패널판의 단면2차모멘트(=I_s). 단, 도심이 보강재 스템 내에 있으나 압축판의 표면에 가까울 때 I_sc가 I_s보다 조금 크게 되는 경우가 있는데, 이 때는 I_s를 적용한다.

즉, 보강재의 단면2차모멘트는 I_s와 I_sc 중 작은 값을 적용하기로 한다. 이로부터 k_FEA와 식 (3)에 따라 산정한 k_f의 비를 Fig. 7에 도시하였다. Fig. 7로부터 β / β_cr이 작을수록, 또한 판의 세장비(λ_f)가 작을수록 k_FEA / k_f 비가 더 작은 결과를 보인다.

Fig. 7. 
β / β_cr vs. k_FEA / k_f

Fig. 7로부터 합리적인 좌굴계수식의 도출을 위해서는 식 (3)의 k_f 식에 수정계수가 필요함을 보여준다. 곡선접합(curve fitting)으로부터 λ_f = 18.8과 λ_f = 33.3의 평균값에 해당하는 수정계수식을 도출한 후, 안전율을 감안하되 λ_f가 작을수록 k_FEA / k_f 비가 더 작은 값을 보이므로 λ_f = 18.8의 경우를 포괄하도록 최종 수정계수식(c_c)을 도출하였다. 세장비 λ_f = 18.8은 항복강도 460 MPa까지의 강박스거더에서 최소 세장비 수준으로 생각된다.

β / β_cr ≤ 1.0일 때 적용되는 보정계수 c_c는 n ≤ 3과 n > 3으로 구분하여 도출하였으며, 이를 적용한 좌굴계수 k_c는 다음 식 (8), 식 (9a) 및 식 (9b)와 같다.

Fig. 7(a)–(d)에 보정계수 c_c를 도시하였다. 한편 β / β_cr > 1.0일 때 식 (10)의 k_f,min은 앞의 식 (5b)와 같다. Table 2–Table 5에 제시한 k_FEA / k_f 값으로부터 k_c 식은 다수의 보강재가 설치된 압축판에서 좌굴계수를 합당하게 추정할 수 있을 것으로 판단된다.

본 연구에서 n = 1과 2에 대해 별도의 좌굴해석을 수행하지 않았으나, 식 (9a)의 c_c는 Wang et al.^[8]이 제안한 식 (7)의 c_f와 단지 1 % 차이를 보인다. 따라서 c_c는 n = 1과 2에서도 타당할 것이다.