강거더교의 부식환경과 강재종류를 고려한 시간 의존적 신뢰도, 여유도 및 위험도의 상호관계

1. 서 론

교량을 포함한 사회기반 시설물은 시간에 따라 구조적 성능이 지속적으로 감소한다. 교량과 같은 다양한 부재로 이루어진 구조물의 성능 저하를 예측하는 것은 광범위한 불확실성을 포함하여, 확률론적인 방법을 사용한다^[1]. 구조성능을 정량적으로 나타내는 가장 일반적인 확률론적인 지표는 파괴확률(probability of failure)과 신뢰도(reliability)이다. 하지만, 파괴확률과 신뢰도는 특정 시점에서의 교량의 안전 및 파괴 가능성만을 수치화한 것으로 교량의 사용 지속성 및 여유도, 중요도, 구조물의 기능 상실 및 파괴에 따른 직간접 손실을 반영하지 못한다. 예를 들어, 동일한 파괴확률을 가진 교량이라도 중요도가 높고, 파괴에 따른 손실이 클 것으로 예상되면 안전 및 수명관리의 집중도를 높일 필요가 있다. 따라서, 다양한 구조성능 지표를 평가하고 이를 종합적으로 해석하는 교량 안전 및 수명관리가 필요하기 시작하였다^[2],[3].

파괴확률 및 신뢰도 이외의 확률론적 구조성능 지표로서 여유도(redundancy), 사용성(availability), 위험도(risk), 회복력(resilience), 지속가능성(sustainability), 강건성(robustness), 취약도(vulnerability) 등이 있다. 일반적으로 상시하중 및 극한재해를 고려한 개별 교량의 안전성 및 수명관리에 적용하는 구조성능 지표는 파괴확률, 신뢰도, 여유도, 사용성, 위험도, 취약도 등이 있다. 교량 그룹 및 교량 네트워크 기반의 성능지표는 회복력, 지속가능성, 강건성 등을 포함한다. 이러한 구조성능 지표는 개별교량의 파괴확률을 기초로 구성되나, 특정 사건의 발생확률 계산에 있어서 조건과 기댓값의 독립적 적용으로 인해 파괴확률의 증감이 이들 구조성능 지표의 증감으로 연결되지 않는다. 따라서, 이러한 다수의 성능지표들을 활용한 적절하고 합리적인 구조성능 예측을 통해 사회기반시설 유지관리의 효과와 효율성을 극대화할 수 있다^[4]. 이에 따라 국외에서는 교량 유지관리를 위한 다양한 성능지표의 예측과 이를 활용한 유지관리 체계를 수립하는 연구가 진행 중이며, 보다 상세한 연구내용은 Ghosn et al.^[5], Ghosn et al.^[6]에서 찾아볼 수 있다.

기존의 연구는 각각의 구조성능지표의 평가와 예측에 중점을 두며, 이들의 상관관계, 구조물의 사용환경 및 시스템 모델링에 대한 영향평가가 부족한 상황이다^[5],[6]. 기존 연구와 차별적으로, 본 논문에서는 (1) 교량거더를 모두 고려하는 시스템 모델링을 적용하고, (2) 부식환경 및 강재종류에 따른 신뢰도, 여유도, 위험도의 영향을 평가하며, (3) 이를 바탕으로 신뢰도, 여유도, 위험도의 상호 연관성을 정량적으로 제시한다. 교량의 구조성능은 시스템 모델링에서 교량부재의 상관관계를 반영하게 되는데, 거더 간 완전상관관계와 독립관계를 고려한다. 본 논문은 9개의 강거더로 이루어진 교량을 적용하여, 구조성능저하 요인으로 부식과 하중의 영향을 고려한 시간 의존적 확률론적 구조 성능지표를 계산한다.

2. 확률론적 교량 구조성능 지표

시간에 따른 교량 구조성능의 불확실성을 반영하기 위해 확률론적인 지표를 적용한다. 일반적으로 사용되는 확률론적 성능지표는 신뢰도, 여유도 및 위험도를 포함한다. 교량의 부재 단위의 신뢰도는 해당 부재에 작용하는 외부하중과 부재의 저항능력의 비교를 통해 계산하는데, 이를 전체 교량 구조시스템에 적용하기 위해 적절한 모델링이 필요하다. 계산된 교량 구조시스템의 신뢰도를 기반으로 여유도 및 위험도를 평가한다.

3. 확률론적 교량 구조성능 지표와 상관관계

교량 시스템의 확률론적 교량 구조성능 지표인 신뢰도, 여유도 및 위험도의 적용은 Fig. 1의 강거더 교량을 대상으로 한다.

Fig. 1.

Steel girder bridge

3.1 시간에 따른 상태함수, 확률변수 및 시스템 모델링

Fig. 1(a)의 강거더 교량은 3경간 단순보로 9개의 강거더와 콘크리트 상판으로 구성된다. 해당 교량에 대한 구체적인 정보는 Estes^[12], Estes and Frangopol^[13]에서 찾아볼 수 있다. 본 논문에서는 외측거더 1, 9, 내측거더 2와 8과 내측거더 3~7로 구분하여, 휨 파괴에 대한 다음의 상태함수를 사용한다.

$\[ \begin{array}{l}{g}_{\mathrm{1,9}}\left(t\right)=Z_{ex}\left(t\right)F_y{\nu }_{mg}-145.32{\lambda }_{con}-37.3{\lambda }_{stl}\\ -M_{trk,ex}\left(t\right)D{F}_{ex}{I}_{bm}\end{array} \]$

(9a)

$\[ \begin{array}{l}{g}_{\mathrm{2,8}}\left(t\right)=Z_{in}\left(t\right)F_y{\nu }_{mg}-244.08{\lambda }_{con}-31.7{\lambda }_{stl}\\ -28.8{\lambda }_{aph}-M_{trk,in}\left(t\right)D{F}_{in\_ex}{I}_{bm}\end{array} \]$

(9b)

$\[ \begin{array}{l}{g}_{3\_7}\left(t\right)=Z_{in}\left(t\right)F_y{\nu }_{mg}-197.65{\lambda }_{con}-31.7{\lambda }_{stl}\\ -57.64{\lambda }_{aph}-M_{trk,in}\left(t\right)D{F}_{in}{I}_{bm}\end{array} \]$

(9c)

식 (9a) - (9c)의 확률변수의 정의와 값을 Table 1에 정리하였다. 여기서, λ_con, λ_stl, λ_aph는 각각 콘크리트, 강재, 아스팔트 고정하중의 불확실성을 나타내는 계수이며, DF_ex, DF_{ex_in}과 DF_in는 하중분배계수를 나타낸다. Z_ex(t)와 Z_in(t)은 시간에 따른 외측거더와 내측거더의 소성단면 계수로 부식에 따라 감소하게 되는데, Kayser and Nowak^[14]에 의해 평균 부식침투 깊이 d_cor(t) (10 mm^-3)를 다음과 같이 계산한다.

$\[ d_{cor}\left(t\right)=d\times t^{\psi } \]$

(10)

Table 1.

Random variables to define the state function in Eq. (9)[9],[12],[13]

여기서, d와 ψ는 강재의 종류와 부식환경에 따라 결정되는 확률변수로는 로그정규분포를 가지며, 평균, 표준편차 및 상관계수를 Kayser and Nowak^[14], Sharifi and Paik^[15]에 의해 Table 2와 같이 정리하였다. 본 논문에서는 Table 2에서 보는 바와 같이 외측거더(1, 9)와 내측거더(2~8)에 대한 부식환경을 A_cor과 B_cor로 구분였으며, 일반강재와 내후성강재에 사용조건을 각각 CS와 WS로 나타낸다. 본 논문에서는 부식환경과 강재사용을 조합하여 4가지 경우(A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS, B_cor-WS)를 적용하여 신뢰도, 여유도 및 위험도를 비교 평가하였다. 또한, Fig. 1(b)에 나타낸 바와 같이 9개 거더의 휨파괴를 모두 고려하는 2개의 시스템 모델링을 사용하였다. 시스템 모델링 I에서는 어느 하나의 외부거더 파괴 또는 인접한 2개 내부거더 파괴가 전체 시스템 파괴로 가정하였고, 시스템 모델링 II에서는 외부거더와 인접한 내부거더의 파괴 또는 인접한 3개 내부거더의 파괴가 전체 시스템의 파괴로 가정하였다.

Table 2.

Corrosion parameters for carbon and weathering steels for two environmental conditions[14]-[15]

3.2 신뢰도 지수

Fig. 1(a)의 거더를 Table 2의 carbon steel에 대한 부식환경을 적용하였을 때, 시간에 따라 신뢰도 지수를 Fig. 2에 나타내었다. 외측거더(거더 1과 9), 내측거더(거더 2와 8), 그리고 내측거더(3~7)는 식 (9a), 식 (9b)와 식 (9c)의 상태함수를 적용하여 식 (2)에 의해 신뢰도 지수 β를 계산한다. Fig. 2에서 보는 바와 같이 외측거더는 초기 가장 큰 신뢰도 지수를 가지며, 내측거더 2와 8이 두 번째로 크지만, 이후 내측거더 3~7보다 작게 된다. 또한, B_cor-CS가 A_cor-CS보다 부식을 더 유발시키는 조건이므로, Fig. 2(b)의 B_cor-CS에 대한 신뢰도 지수 감소가 Fig. 2(a)의 A_cor-CS보다 더 크다는 것을 알 수 있다.

Fig. 2.

Reliability index of each girder

Fig. 1(b)의 시스템 모델링 I과 II에 대한 신뢰도 지수를 Fig. 3에 나타낸다. 이는 Fig. 2에서 계산된 각 거더의 신뢰도 지수와 프로그램 UQlab^[5]을 사용하여, Fig. 1(b)의 시스템 모델링 I과 II에 대해 거더 1~9 관계가 독립(independent)인 경우와 완전상관(perfectly correlated)관계인 경우로 나누어 신뢰도 지수를 계산하였다. Fig. 3(a)와 Fig. 3(b)에서 동일한 상관관계에서 시스템 모델링 I이 II보다 신뢰도 지수가 A_cor-CS와 B_cor-CS에서 대체로 작으나, B_cor-CS의 경우 약 40년 이후 시스템 모델링 I의 크기가 시스템 모델링 II보다 크다. 또한, 동일한 시스템 모델링에서 거더 간 완전상관관계가 독립관계보다 신뢰도 지수가 항상 작으며, 거더 간 완전상관관계에서는 시스템 모델링 I과 II의 시스템 신뢰도 지수의 차이가 크지 않음을 알 수 있다.

Fig. 3.

Reliability index of system

3.3 여유도 지수

여유도 지수는 앞서 설명한 바와 같이 손상단계에서 파괴에 도달하기 전까지의 교량의 사용가능성을 나타내는 지표이다. 여유도는 식 (3)에 의해 시스템 모델링 I과 II의 A_cor-CS와 B_cor-CS에 대해 Fig. 4(a)와 Fig. 4(b)에 각각 나타내었다. 여유도는 A_cor-CS와 B_cor-CS에서 주어진 거더의 상관관계에서 모두 시스템 모델링 II이 시스템 모델링 I보다 크다. 또한 A_cor-CS의 경우, 거더 간 완전상관관계에서는 시스템 모델링 I과 II 사이에 차이가 크지 않음을 알 수 있다. 이는 시스템 신뢰도 지수가 독립관계에서 가장 크며, 완전상관관계에서 시스템 신뢰도 지수의 차이가 크지 않는 Fig. 3의 결과와 일치함을 알 수 있다. Fig. 4(b)에서 시스템 모델링 I과 II에서 여유도 지수가 시간이 지남에 따라 일부 증가함을 볼 수 있는데, 이는 식 (3)의 여유도 지수의 정의에 의해 시간 t에 따라 β_sys(t)의 감소가 β_dmg(t)의 감소보다 작기 때문이다.

Fig. 4.

Redundancy index of system

3.4 위험도

위험도는 식 (4) - (8)을 적용하여 계산하며, 간접손실계산에 필요한 변수의 값을 Table 3에 정리하였으며, 보다 상세한 정보는 Stein et al.^[10], Estes^[12]에서 찾아볼 수 있다. Fig. 5에서 시스템 모델링 I과 II의 파괴에 따른 위험도를 나타내었다. 식 (4) - (8)에 따라 각 거더의 파괴에 따른 위험도를 계산하는데, Fig. 5의 시스템 모델링 I과 II의 위험도는 시스템 파괴확률에 교량 시스템 모델에 대한 L_dir(t)와 L_ind(t)의 합을 곱하여 계산한다.

Table 3.

Parameters for indirect cost estimation[10]-[12]

Fig. 5.

Risk of system modeling with carbon steel

Fig. 5의 위험도는 시간 증가에 따라 파괴확률이 증가하며, 신뢰도 지수가 감소하기 때문이며, Fig. 3의 신뢰도 지수에 직접적인 영향을 받게 된다. 시스템 I과 II에서 거더 간 완전상관관계의 위험도 차이가 적은 것도 Fig. 3에서 시스템 I과 II에서 거더 간 완전상관관계의 신뢰도 지수 차이가 적기 때문이다.

3.5 강재 및 부식 환경에 따른 교량 구조성능 비교

시스템 모델링 I의 독립관계와 완전상관관계에서 Table 2에 정의된 네 가지 조건 A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS 그리고 B_cor-WS에 대한 신뢰도 지수, 여유도 지수, 위험도를 Fig. 6와 Fig. 7에 비교하였다. Fig. 6에서 보는 바와 같이 각 조건에서 신뢰도 감소와 위험도 증가가 일관성을 가지지만, 여유도는 B_cor-CS 조건에서는 지속적으로 감소하며, B_cor-WS에서는 증가하는 경향을 가진다. 또한, Fig. 7의 시스템 모델링 I의 완전상관관계에서도 네 가지 조건 A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS 그리고 B_cor-WS에서 신뢰도 감소와 동시에 위험도 증가가 나타나지만, 여유도는 B_cor-CS 조건을 제외한 나머지 3개 조건에서는 시간에 따라 증가하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6.

Performances of system modeling I with independent girders

Fig. 7.

Performances of system modeling I with perfectly correlated girders

Fig. 6(a)와 Fig. 7(a)의 신뢰도 지수 비교에서는 A_cor-CS와 A_cor-WS가 독립관계와 완전상관관계에서 모두 B_cor-CS와 B_cor-WS보다 각각 큰 값을 가진다. 이에 따라 위험도는 Fig. 6(c)와 Fig. 7(c)에서 보는 바와 같이 A_cor-CS와 A_cor-WS가 B_cor-CS와 B_cor-WS보다 각각 작은 값을 가진다. 또한, B_cor-CS와 B_cor-WS의 차이는 신뢰도와 위험도 모두 A_cor-CS와 A_cor-WS의 차이보다 크며, 이를 통해 부식환경조건 A_cor보다 B_cor에서 사용강재의 영향이 교량 시스템의 신뢰도 지수와 위험도 측면에서 더 크다고 볼 수 있다. 한편, 여유도 지수는 완전상관관계와 독립관계에서 모두 B_cor-WS가 가장 큰 값을 가진다. 이는 여유도 지수가 β_sys(t)와 β_dmg(t)의 차이에 의해 결정되므로, Figs. 6-7의 신뢰도 지수와는 다른 경향을 가진다.

3.6 강재 종류, 부식 환경, 시스템 모델링에 따른 교량 구조성능의 상관관계

강재 종류와 부식환경, 교량 시스템 모델링과 그 구성요소인 거더의 상관관계에 따른 신뢰도 지수, 여유도 지수와 위험도의 상호관계를 정량화하기 위해 3.2절에서 3.5절에 제시된 결과를 기반으로 각 지표들의 상관계수 ρ(correlation coefficient)를 계산하였다. Fig. 8(a)와 Fig. 8(b)는 Table 2에 정의된 네 가지 조건 A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS 그리고 B_cor-WS에서 시스템 모델링 I의 거더 간 독립관계와 완전상관관계에서의 각 지표 간 상관계수를 나타내며, Fig. 9(a)와 Fig. 9(b)는 시스템 모델링 II의 각 지표들의 상관계수를 나타낸다. 여기서, 두 개의 성능지표에 대한 상관계수는 값은 –1에서 1의 값을 가지며, 0일 경우 두 개의 성능지표는 독립관계이다. 두 개의 지표값이 동시에 선형으로 증가 (또는 감소)하는 경우 상관계수는 1이며, 반대로, 하나의 지표 값의 증가가 다른 하나의 선형적 감소를 유발할 경우 상관계수는 –1이다. Fig. 8과 Fig. 9에서 ρ₁₂, ρ₁₃와 ρ₂₃는 각각 신뢰도와 여유도, 신뢰도와 위험도, 그리고 여유도와 위험도의 상관계수를 나타낸다.

Fig. 8.

Correlation coefficient for system modeling I

Fig. 9.

Correlation coefficient for system modeling II

Figs. 8-9에서 신뢰도와 위험도의 상관계수 ρ₁₃는 항상 (–)값을 가지며, 이는 신뢰도의 증가가 위험도의 감소를 유발함을 나타낸다. 상관계수 ρ₁₃ 값은 대체로 –0.8에서 –1.0의 값을 가지나, 시스템 모델링 II의 B_cor-CS에서 –0.6에서 –0.8의 값을 가져 상대적으로 적은 상관성을 가진다. 한편, 신뢰도와 여유도 (또는 여유도와 위험도)는 상관계수의 (+) 또는 (–)의 일관성이 없으며, 여유도 지수는 강재 종류와 부식환경, 교량 시스템 모델링과 그 구성요소인 거더의 상관관계에 따라 신뢰도나 위험도로부터 추정이 어려우며, 별도의 평가가 필요함을 나타낸다. 마지막으로, 신뢰도와 위험도는 상관성이 크므로, ρ₁₂와 ρ₁₃가 동일한 부호(+ 또는 –)의 상관계수값을 가질 경우 ρ₂₃의 상관계수는 (+)값을 가진다. 이와 반대로 ρ₁₂와 ρ₁₃가 다른 부호의 상관계수값을 가질 경우 ρ₂₃는 (–)값의 상관계수를 가진다.

4. 결 론

본 논문에서는 교량부재인 거더 간 완전상관관계와 독립관계를 고려하여, 교량 시스템 모델링의 종류, 부재간의 상관관계, 부식환경 및 강재종류에 따른 신뢰도, 여유도, 위험도의 평가방법 및 적용을 제시한다. 또한, 확률론적 구조성능지표의 효율적 적용을 위해 이들의 상관관계를 정량적으로 평가하였다. 제시된 연구결과를 통해 다음의 결론을 도출할 수 있다.

• (1) 교량에 작용하는 시간 의존적 성능저하 환경에 따라 신뢰도지수는 감소하고, 위험도는 증가한다. 신뢰도 지수는 교량 부재 간 완전상관관계에서 독립관계보다 더 작은 값을 가지며, 이에 따라 위험도는 완전상관관계에서 독립관계보다 더 큰 값을 가진다.
• (2) 교량 부재 부식에 더 불리할수록 신뢰도 지수는 더 작은 값을 갖게 되면, 위험도는 더 큰 값을 갖게 된다. 또한, 일반 강재에 대한 신뢰도 지수보다 내후성 강재에 대한 신뢰도 지수의 감소와 위험도의 증가가 더 완만하며, 강재에 대한 부식환경이 더 불리할수록 일반 강재와 내후성 강재에 대한 신뢰도 지수와 위험도 차이가 많이 발생한다.
• (3) 교량 시스템의 신뢰도와 위험도는 시간에 따라 대체로 일관성 있는 증감소 경향을 가지는데, 이는 위험도가 교량 시스템의 파괴확률에 직접적인 영향을 받기 때문이다. 한편, 교량 시스템의 여유도는 시간에 따라 지속적으로 감소하지 않는다. 이는 본 논문에서 적용한 여유도의 정의에 의해 비손상 교량 시스템의 신뢰도와 최초 구조부재의 파괴 시 교량 시스템의 신뢰도지수 차이가 시간에 따라 일정하게 감소하지 않기 때문이다. 이를 정량적으로 해석하기 위해 강재 종류와 부식환경, 교량 시스템 모델링과 그 구성요소인 거더의 상관관계에 따른 신뢰도, 여유도와 위험도의 상관계수를 계산하였다.
• (4) 신뢰도와 위험도의 상관계수는 항상 (–)값을 가지며, 대체로 –0.8에서 –1.0의 값을 가져 상관성이 큼을 확인하였으며, 일부 조건에서 –0.6에서 –0.8의 값을 가진다.
• (5) 여유도는 신뢰도와 위험도의 상관계수값이 작아, 강재 종류와 부식환경, 교량 시스템 모델링과 그 구성요소인 거더의 상관관계에 따라 별도의 평가가 필요한 구조지표임을 알 수 있다.
• (6) 본 논문의 교량 구조성능 평가에 사용된 강재 부식을 고려한 상태함수와 확률변수 값은 신뢰성 확보를 위해 기존 국외 연구자료 및 데이터를 기반으로 한 것으로 국내교량에 직접 적용하기 위해서는 설계자료를 기반으로 최근 연구결과를 반영한 상태함수의 구성과 이에 관련한 확률변수 데이터의 확보가 필요하다.
• (7) 적절한 교량 시스템 모델링을 통해 신뢰도, 여유도, 위험도 등을 평가하게 되는데, 이러한 시스템 모델링에서는 교량 구성요소의 기능 및 다른 구성요소와의 구조적 연관성 등의 종합적 판단이 필요하다. 이에 따라, 확률론적 구조성능 평가를 위한 교량 시스템 모델링의 일반화를 위한 추가연구가 필요하다.

Acknowledgments

본 연구는 2021년도 원광대학교 연구비 지원에 의해 수행되었습니다.

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