유지관리 정보 기반 다단계 최적화 기법을 적용한 피로균열 관리

1. 서 론

최근 노후시설물의 증가와 안전진단의 수요증대로 보다 효율적인 구조물 관리가 필요한 실정이다. 강재의 연결부에 주로 발생하는 피로균열은 발생 시점과 성장의 예측에 있어서 불확실성이 크며, 발생된 균열은 구조물의 갑작스러운 붕괴를 유발할 수 있어, 유지관리에 더욱 많은 관심과 노력을 기울일 필요가 있다^[1],[2],[3]. 피로균열을 지속적이고 안정적으로 관리하기 위해서는 많은 시간과 경비가 소요되므로 보다 효율적인 피로균열 유지관리 계획 수립이 필요하다. 지금까지 강구조물의 피로균열을 기반으로 하는 잔존 수명예측 기법^[4], 확률론적 위험도기반의 유지관리 기법^[5] 및 생애주기비용에 근거한 유지관리 기법^[6] 등이 개발되었으나, 이는 주로 최초 유지관리계획 수립을 목적으로 한다. 하지만, 유지관리를 위한 점검 수행으로 생성되는 정보를 바탕으로 지속적인 업데이트 및 최적화 기법의 효율적 적용을 고려한 피로균열 유지관리를 위한 연구는 현재로써 제한적이라 볼 수 있다.

본 논문에서는 피로균열 유지관리의 효율성과 신뢰성 향상을 위해 최적화 기법을 단계별로 적용한다. 최적화과정은 두 가지로 나뉘는데, 첫 번째 최적화 과정에서는 기존의 가용한 데이터를 활용하여 피로균열의 성장을 예측하며, 구조물의 파괴에 이르기 전 피로균열이 감지될 확률이 최대가 되는 시점에 균열의 상태를 점검하게 된다. 여기서, 측정된 피로균열의 크기는 기존의 균열크기 예측에 필요한 확률변수 업데이트에 사용되는데, 이를 위해 Markov chain Monte Carlo 시뮬레이션 기반 Bayesian 업데이트 기법을 적용한다. 업데이트된 피로균열 모델의 확률변수를 기반으로 균열의 성장을 예측하고, 두 번째 점검시기를 결정하는 최적화 과정에 적용된다. 이때 최적화 과정의 목적함수는 피로균열의 크기가 유지보수를 위한 크기에 도달할 때 점검을 수행하는데 있어서 시간적 지연을 최소화하는 데 있다. 결과적으로, 점검과정에서 생성되는 정보를 이용하여 균열성장 예측을 업데이트하여 보다 실용적이고 신뢰성 있는 피로균열 관리를 기대할 수 있다. 본 연구에서 제시된 방법은 선박구조물의 측면부재의 피로현상에 적용한다.

2. 다단계 최적화 기법을 적용한 유지관리

본 연구에서 적용하는 다단계 최적화 기법은 단계별로 목적함수를 다르게 적용한 최적화 과정을 의미하며, 관련된 상세 과정을 Fig. 1.에 도식화 하였다. 확률론적 피로균열성장에 대한 예측을 기반으로 첫 번째 최적화 과정을 수행한다. 여기서 적용되는 목적함수는 피로균열 발견 확률의 최대화이며, 이를 통해 첫 번째 균열 점검 시기를 결정하게 된다. 이때 피로균열이 발견되지 않거나, 발견되었더라도 피로균열의 크기가 유지보수를 위한 크기만큼 성장되지 않을 경우, 다음 검점시기를 결정해야 한다. 첫 번째 점검결과에서 얻을 수 있는 정보를 활용하여 피로균열성장에 대한 업데이트를 수행하며, 이를 통해 두 번째 최적화과정을 거치게 된다. 두 번째 최적화과정의 목적함수는 균열의 크기가 유지보수를 위한 크기에 도달할 시기에 점검을 수행하는데 있어서 시간적 지연을 최소화하는데 있다.

Fig. 1.

Flowchart of multi-step optimization for inspection planning

2.4 Markov chain Monte Carlo 샘플링

측정된 균열크기를 이용하여 균열성장 예측에 필요한 확률변수의 업데이트된 분포함수 f_X(x|a_∈sp)를 계산하기 위해서는 식 (6)의 L(a_∈sp|x)함수에서 a(x)를 구해야하는데 이때, Markov Chain Monte Carlo (MCMC)을 적용한다. 본 연구에서는 MCMC의 대표적인 형태인 Metropolis -Hasting 알고리즘을 적용하는데 이는 Fig. 2.에서 제시된 과정을 따르며, 여기서 제안함수(proposal function) q(x^*|x_i)는 평균값 0을 갖는 정규분포함수이며, 사전 승인 확률(prior acceptance probability) α_p(x_i, x^*), 가능 승인 확률(likelihood acceptance probability) α_L(x_i, x^*)은 다음과 같이 정의한다^{[12],[13],[14],[15]}.

Fig. 2.

Flowchart of Markov chain Monte Carlo simulation using Cascaded Metropolis Algorithm

$\[ {\alpha }_p\left(x_i,x^{*}\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{1, \frac{P_X\left(x^{*}\right)}{P_X\left(x_i\right)}\right\} \]$

(7a)

$\[ {\alpha }_L\left(x_i,x^{*}\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{1, \frac{L_X\left(a_{{\in }_{sp}}|x^{*}\right)}{L_X\left(a_{{\in }_{sp}}|x_i\right)}\right\} \]$

(7b)

3. 피로균열 최적관리 적용

제시된 균열점검 결과인 균열 크기를 이용한 피로균열 다단계 최적관리 기법은 피로현상을 가지는 강구조물을 대상으로 하며, 본 논문에서는 선박구조물의 피로현상에 적용한다. Fig. 3.에서는 일반적인 선박구조물 중앙단면 측면 외판플레이트의 횡방향 프레임과 축방향 보강재 연결부를 보여주고 있으며, 해당 부분의 피로균열을 본 논문의 예시로서 적용한다. 여기서의 피로균열 예측을 위해 Table 1에 제시된 확률변수를 사용하여 식 (1)과 (2)에 적용하였다. Table 1에 정의된 확률변수의 평균, Coefficient of variation (COV)와 분포형태는 ^[11]에 근거한다. 최초 균열 길이 a_i는 평균값 0.5mm와 COV = 0.1을 가지는 정균분포함수를 따르는 것으로 가정하였으며, 연간 하중반복횟수 N_an는 로그정규분포함수로 1.0×10⁶의 평균값과 1.0×10⁵의 표준편차를 가진다고 가정하였다. 또한, 식 (1)과 (2)에서의 형상함수 Y(a)는 1.12의 상수로 고려하였다. Table 1에 정의된 확률변수를 Monte Carlo simulation을 통해 각각 100,000개의 샘플을 생성하여 구조부재의 최초수명을 계산하였다. 이때, 구조부재의 최초사용 수명은 피로균열의 크기가 부재 두께인 50mm에 도달하는 시간으로 Fig. 4.에서와 같이 평균 15.26년과 표준편차 9.05년의 값을 가지는 확률밀도함수 (probability density function, PDF)를 얻을 수 있다. Fig. 4.에서의 최초 사용수명 PDF는 식 (4)에서 정의된 구조물의 사용수명 내 균열발견확률 P_life 을 계산하는데 사용된다.

Fig. 3.

Mid-ship cross-section and fatigue critical location

Table 1.

Random variables for fatigue crack prediction

Fig. 4.

Probability density function (PDF) of initial service life

3.1 사용수명 내 균열발견확률 최대화를 위한 최적화

본 연구에서 제시되는 다단계 최적화기법의 첫번째 최적화과정은 Fig. 1.에서 보는 바와 같이 사용수명 내 균열발견확률 P_life 을 최대화하는 점검시기를 결정하는 것으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

$\[ \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }{t}_{{\in }_{sp}}=\left\{t_{{\in }_{sp, 1}},t_{{\in }_{sp, 2}},\dots .,t_{{\in }_{sp, N_{{\in }_{sp}}}}\right\} \]$

(8a)

$\[ \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{ }{P}_{life} \]$

(8b)

$\[ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }{t}_{{\in }_{sp}}\le 20 \mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s} \]$

(8c)

$\[ \mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }{N}_{ {\in }_{sp}}=1\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{d} \]$

(8d)

여기서, 목적함수 P_life는 식 (4)에서 제시되어 있으며, 설계변수인 균열점검시기 t_∈sp는 20년을 초과하지 않는다. 또한, 균열점검 횟수는 1회로 비파괴 균열검사인 와전류탐상법(Eddy Current, EC), 초음파탐상법(Ultrasonic, UT) 및 액체침투탐상법(Liquid Penetrant, LT)을 적용한다. EC, UT, LT 비파괴 균열검사에 대한 균열발견확률 P_insp 계산을 위해 식 (3)을 적용하며, Table 2에서 제시된 계수 α,β^[16]를 사용한다. 식 (3)의 계수 α와 β는 균열검사방법인 EC, UT, LT의 균열발견확률 P_insp을 대표하는 값으로 일반적으로 세 가지 방법 중 동일한 균열크기에 대해 EC가 가장 큰 균열발견확률 P_insp을 제공한다. 식 (8)에 정의된 최적화 문제는 MATLAB(2016b)의 Optimization toobox를 사용하여 설계변수의 해를 구했으며, 이를 Table 2에 정리하였다. 예를 들어, 와전류탐상법(EC)을 적용할 경우 P_life 를 최대화하기 위한 최적 점검 시기는 4.87년이 되며, 이때 P_life는 0.93을 가지며, 초음파탐상법(UT)을 적용할 경우 최대 P_life인 0.71을 얻기 위해서는 7.81년에 점검을 수행해야 한다.

Table 2.

Values of design variable and objective

3.2 균열성장예측을 위한 확률변수의 업데이트

Fig. 1에서 보는 바와 같이 균열의 크기가 a_ma보다 작을 경우에는 측정된 균열의 크기로 균열성장 예측 모델 (즉, 식 (1)과 (2))의 확률계수를 업데이트하게 되는데 이때 Fig. 2.에서 설명한 MCMC를 기반으로 하는 Bayesian 이론을 적용한다. 본 연구에서는 유지보수를 위한 균열의 크기 a_ma를 부재두께 50mm의 5%인 2.5mm와 10%인 5mm 두 가지로 적용하였다. Table 2에서 보는 바와 같이 와전류탐상법(EC)을 적용할 경우 최초 점검 시기 4.87년이며, 이 때 평균 균열크기는 식 (2)에 의해 1.2mm로 예측된다. 이때 측정된 균열의 실제크기 a_insp,1가 0.6mm와 1.8mm인 두 가지 경우로 가정하여 연간하중반복 N_an와 응력범위 S_r를 각각 업데이트한다. 측정된 균열의 크기 0.6mm는 최초 예측된 평균 균열의 크기 1.2mm 보다 적은 값으로 이는 균열의 진행이 최초 예측보다 느리다는 것을 의미하며, 측정된 균열의 크기 1.8mm는 최초 예측된 평균균열의 크기 1.2mm보다 크므로 실제 균열이 최초 예측보다 빠르게 진행한다는 것을 의미한다. 측정된 균열의 크기는 모두 a_ma보다 적으므로 Fig. 1.에서 보는바와 같이 업데이트 과정을 거치게 된다. Fig. 5.는 Table 1에 정의된 연간하중 반복횟수 N_an와 응력범위 S_r의 최초 PDF(Prior PDF)와 업데이트된 PDF (Posterior PDF)를 보여준다. 연간 하중 반복횟수 N_an는 Table 1에서 보는 바와 같이 평균 1.0×10⁶와 표준편차 1.0×10⁵를 가지는 로그정규분포 PDF로 가정하였으나, 측정된 균열의 크기가 0.6mm일 경우 MCMC를 기반으로 하는 Bayesian 업데이트 과정을 통해 평균 7.73×10⁵와 표준편차 5.82×10⁴를 가지는 PDF를 구할 수 있다. 또한, 측정된 균열의 크기가 1.8mm일 경우, 업데이트된 PDF는 평균 1.29×10⁶와 표준편차 4.93×10⁴를 가지게 된다. 응력범위 S_r의 경우 최초 로그정규분포를 따르는 평균값 22.5MPa와 표준편차 2.25MPa를 확률변수로 가정하였으나, 측정된 균열의 크기가 0.6mm일 경우 업데이트를 통해, Fig. 5(b).에서 보는 바와 같이 17.03MPa의 평균값과 1.66MPa의 표준편차를 가지는 응력범위 S_r에 대한 PDF를 얻을 수 있다.

Fig. 5.

Prior and posterior distribution: (a) annual number of cycles Nan; (b) stress range Sre

Fig. 6.에서는 업데이트된 연간하중 반복횟수 N_an와 응력범위 S_r를 적용하여 와전류탐상법(EC)이 적용된 첫번째 점검 시점 t_insp,1 = 4.87년 이후 잔류수명에 대한 PDF를 보여준다. 만약 측정된 균열의 크기가 0.6mm일 경우, 업데이트된 확률변수를 이용하여 잔존수명이 평균 40.10년임을 알 수 있으며, 측정된 균열의 크기가 1.8mm인 경우에는 평균 잔존수명이 평균 4.02년으로 예측된다.

Fig. 6.

PDF of remaining service life since the first inspection: (a) ainsp,1 = 0.6mm; (b) ainsp,1 = 1.8mm

3.3 최적 유지보수 시점 결정

두 번째 최적화 과정은 유지보수를 위한 균열 크기 a_ma에 도달할 시기 t_ma와 두 번째 점검시기 t_insp,2의 오차를 최소화하는 것으로 해당 목적함수 f를 다음과 같이 표현한다.

$\[ f=\left|t_{ma}-t_{{\in }_{sp, 2}}\right| \]$

(9)

t_ma를 구하기 위해 t_insp,1 = 4.87년에 와전류탐상법(EC)을 사용하여 측정된 균열의 크기가 0.6mm와 1.8mm인 두 가지 경우에 대해서 Fig. 5.에서 보는 바와 같이 업데이트된 연간하중반복 N_an와 응력범위 S_r를 적용하였으며, Fig. 7(a).와 7(b).에 각각 균열의 크기가 0.6mm와 1.8mm인 경우 대해 균열 크기 a_ma= 2.5mm와 5.0mm에 해당하는 t_ma의 PDF를 나타내었다. Table 3에서는 두 번째 최적화 결과인 점검시기 t_insp,2를 보여준다. 예를 들어, 첫 번째 와전류탐상법(EC)을 사용하여 측정된 균열의 크기가 a_{∈sp, 1}= 0.6mm인 경우, a_ma= 2.5mm일 때, 두 번째 최적점검시기는 첫 번째 점검 이후 19.97년이 되며, a_{∈sp, 1} = 1.8mm 경우에는 첫 번째 점검 이후 0.67년에 점검이 필요하다. 한편, 유지보수를 위한 균열의 크기 a_ma를 5.0mm로 적용할 경우에는 측정된 균열의 크기 a_{∈sp, 1} = 0.6mm에 대해 25.61년 이후를 두 번째 점검시기로 볼 수 있으나, 측정된 균열의 크기 a_{∈sp, 1}이 1.8mm의 경우에는 1.77년 이후가 최적의 두 번째 점검시기가 된다.

Table 3.

Optimum second EC inspection time

Fig. 7.

PDF of time for crack size to reach ama since the first inspection tinsp,1 = 4.87 years: (a) ainsp,1 = 0.6mm; (b) ainsp,1 = 1.8mm

4. 결 론

본 연구에서는 피로에 의한 균열발생을 효율적으로 관리하기 위한 최적점검 시기를 결정하는 방법을 제시하였다. 점검과정에서 생성되는 균열크기 정보를 이용하여, 균열성장 예측에 필요한 변수들을 업데이트하고, 이를 통해 다음 점검시기를 결정하게 된다. 본 연구에서 제시된 결과를 통해 다음의 결론을 얻을 수 있다.

• ■ 본 연구에서 제시된 피로균열의 최적점검 시기결정 방법은 점검결과에 따른 균열성장예측 모델을 지속적으로 업데이트 할 수 있다. 또한, 기존의 정기점검에서 생성된 정보를 바탕으로 본 연구에서 제시된 방법을 통합 적용하여 보다 정확하고 신뢰성 있는 균열관리를 가능케 한다.
• ■ 측정된 균열과 최초 예상된 균열의 상대적인 차이와 유지보수를 위한 균열의 크기 설정에 따라 다음 점검주기 결정에 영향을 받는다. 즉, 측정된 균열의 크기가 최초 예상보다 클 경우, 그리고 유지보수를 위한 균열의 크기가 작을수록 두 번째 점검시기가 앞당겨진다.
• ■ 본 연구에서는 측정된 균열로 피로 균열성장예측 모델의 변수를 업데이트하였으나, 균열의 크기와 다른 측정결과를 복합적으로 업데이트에 활용할 수 있다.
• ■ 첫 번째 점검에서 측정된 균열의 크기가 유지보수에 해당하는 균열의 크기보다 클 경우 유지보수를 통해 구조물의 피로성능이 최초 상태로 회복되면 제시된 과정을 처음부터 반복한다.
• ■ 본 연구에서는 와전류탐상법(EC), 초음파탐상법(UT) 및 액체침투탐상법(LT)에 대해 적용하였으나, 균열의 발견확률을 정의할 수 있는 정보가 가용한 경우 보다 다양한 균열탐지방법을 고려하여 적용할 수 있다.
• ■ 단일 피로균열 예상지점을 대상으로 본 연구의 결과가 제시되었으나, 일반적으로 다수의 피로균열을 동시에 관리에 하는 현실적인 여건을 반영한 추가적인 연구가 필요하다. 또한, 본 연구에서는 초기균열의 크기를 가정하여 균열진전에 의한 피로 수명을 계산하였으나, 피로수명은 균열의 최초 발생 및 진전 수명을 동시에 고려하여 예측할 필요가 있다.
• ■ 제시된 방법의 정확성 및 신뢰성은 균열크기 예측의 정확성에 좌우되므로, 보다 정확하고 신뢰성 있는 균열진전 예측모델의 적용이 수반되어야 한다. 또한, 적용된 예측모델과 관련 가정을 기반으로 수치적 결과가 계산된 점을 고려할 때 현실적인 적용을 위한 추가적인 검증을 위한 연구가 필요하다.

Acknowledgments

본 연구는 2017년도 원광대학교 연구비 지원에 의해 수행되었습니다.

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