양단 균일 모멘트를 받는 수평곡선 I형 강재 거더의 횡-비틀림 거동 및 강도 산정 방안

1. 서 론

곡선거더는 직선 거더와 달리 기하학적 형상으로 인하여 필연적으로 비틀림 모멘트에 저항하여야 한다. 이러한 비틀림 모멘트가 I형 거더에 작용할 시에는 순수 비틀림과 뒴에 의하여 응력상태가 복잡해지게 된다. 응력의 불균일 분포는 재료에 이른 항복을 야기할 수 있으며, 부재의 극한 강도를 저하시키는 결과를 초래하게 된다. 따라서 곡선 부재의 설계는 보다 신중하고 면밀한 접근을 필요로 하며, 경우에 따라 정밀한 구조해석을 요한다. 그럼에도 불구하고 현행 설계 기준은 곡률 효과를 반영한 강도 산정 방법을 제시하고 있지 못한 실정이다. 우리나라의 도로교 설계기준(2016)^[1]은 직선 거더에만 국한된 설계 방안을 제시하고 있을 뿐, 평면 외방향으로 작용하는 모멘트나, 응력의 불균일 분포에 대한 언급이 없으며, 특히 비틀림 거동에 대한 사항은 다루고 있지 않다. 곡선교 설계를 다루고 있는 설계 기준은 현재 미국의 AASHTO LRFD Bridge Design Specificaions (2014)^[2]가 유일한데, 이 또한, One-third rule을 이용한 응력 검토방안 만을 제안 하고 있을 뿐, 곡률 효과를 고려한 부재 강도에 대한 언급은 전무한 실정이다. 곡선교 전용 설계지침으로, 일본의 한신 고속도로 공단 설계지침(1988)^[3]이나 미국의 AASHTO Design Guide Specificaions(2003)^[4]을 예로 들 수 있으나, 여기에서도 곡선 거더의 횡-비틀림 거동을 반영한 강도 감소 현상을 명확히 반영하고 있지 않다.

따라서 본 연구에서는 현재까지 자세히 다루어 지지 않았던 I형 강재 곡선 거더의 거동 양상을 유한요소 해석을 통해 분석하는 한편, 곡률에 따른 부재 강도 산정 방안을 제시한다. 해석은 양단 균일 모멘트를 받는 단순 지지된 부재를 대상으로 하였으며, 재료/기하 비선형성과 잔류응력을 고려하였다.

선행 연구 분석

St Venant에 의하여 비틀림 이론이 정립된 이후 곡선 거더에 의한 연구가 활발히 수행되어졌다. Fukumoto and Nishida​(1981)^[5]은 Transfer Matrix를 이용하여 비틀림 대변위를 보이는 곡선 거더에 대한 거동에 대한 연구를 수행 하였으며, 이후 Yoshida and Maegawa(1983)^[6]는 곡선 부재의 극한 강도에 대한 연구를 수행하였다. 그러나 이들의 연구는 비틀림과 휨의 상호작용을 고려하지 않았다.

한편, 곡선 보 요소에 대한 연구 또한 활발히 이루어 졌다. Dabrowski(1968)^[7]에 의하여 곡선 보에 대한 미분방정식이 정립된 이후 Morris(1968)^[8], Ho(1972)^[9], El-Amin and Brotton​(1976)^[10], Hsu(1989)^[11]에 의해 빔요소 정식화에 대한 연구가 수행 되었으며, 최종적으로 Kang(1992)^[12]과 Kang and Yoo(1994)^[13]에 의하여 곡선보 이론이 정립되었다. 그러나 곡선 거더의 강도에 관한 연구는 상대적으로 그 수가 적다. Richard Liew et al.(1995)^[14]은 I형 수평 곡선 거더에 대하여 잔류응력을 고려한 재료 및 기하 비선형 해석을 수행하고 이를 실험 결과와 비교 하였으며 Fukumoto and Nishida(1981)^[5]의 연구결과를 이용하여 강도 산정 방안을 제시하였다. 그러나 그 형태가 복잡하고, 정확도가 다소 떨어지는 단점이 있다. Shanmugam et al.(1995)^[15]는 실험을 통해 수평곡선 I형 거더의 거동을 규명하고자 하였으며, 이를 바탕으로 곡률과 극한 강도간의 관계를 설명하였다. 그러나 이 연구는 휨-비틀림 상호작용보다는 잔류응력의 영향에 주안점을 두고 있으며, 일반식을 도출하고 있지 않다.

Pi and Trahair(1997)^[16]는 기하 비선형을 고려한 수평곡선 I형 거더의 거동에 대한 연구를 수행하였고, 이후 Pi et al. (2000)^[17]는 이를 발전시켜 곡률 중심각 별로 극한 강도 지배 인자를 분류하였다. 이러한 결과를 바탕으로 Pi and Bradford​(2001)^[18]는 수평곡선 거더의 휨-비틀림 모멘트 상호 작용식을 제안하였다. 이들의 연구 결과는 설계를 위한 검토식으로써 큰 의의를 지닌다 할 수 있다. 그러나 그들의 연구 결과는 다소 보수적인 결과를 보이며, 부재의 강도 산정 방안을 제시하지는 못하였다.

Nishida et al.(1978)^[19]은 직접적으로 수평 곡선 I형 거더의 좌굴강도를 산정할 수 있는 식을 최초로 제시하였다(식 (1)).

여기서, L=unbraced length
R=radius of curvature
G=shear modulus
J=torsional constant
C_w=warping constant

그러나 식 (1)은 직선거더의 선형탄성좌굴강도에 일종의 강도 저감 계수를 곱한 것으로 해석할 수 있으며, L² / R²은 단지 곡률 중심각의 제곱인 것을 볼 때, 단면의 특성은 고려되지 않은 것으로 볼 수 있다. 뿐만 아니라 식 (1)은 선형 탄성 좌굴 거동에만 적용될 수 있다는 한계를 지닌다.

수평곡선 I형 강재 거더의 비탄성 좌굴강도 산정에 관련한 가장 최근의 연구는 Yoo et al.(1996)^[20]에 의한 것으로, Kang and Yoo(1994)^[13]에 의해 정립된 곡선보 이론을 바탕으로 하고 있다. 이 역시 Nishida et al.(1978)^[19]의 연구와 유사하게 식 (2)에서 보는 바와 같이 강도 감소 계수를 적용하고 있다.

여기서, M_cu=ultimate strength of curved member
M_st=ultimate strength of straight member
α=2.152, β=2.129, γ=0.0158, θ=subtended angle

위 식은 Nishida et al.(1978)^[19]의 결과와 달리 선형탄성 좌굴강도 뿐 아니라 비탄성 좌굴 강도까지 적용할 수 있으나 이 또한 강도 저감 효과에 곡률 중심각만을 고려했다는 점에서 그 한계를 지닌다. 국내에서는 상대적으로 관련 연구가 부족한 실정이다. 수평곡선 I형 거더에 관한 연구는 주로 자유진동 특성에 관한 것이으며^{[21],[22],[23]} 극한강도에 대한 연구는 소수라 할 수 있다. Kim^[24]은 휨-비틀림 상호작용이 곡선 거더의 극한 강도에 미치는 영향을 조명하였나 그 대상이 강합성 제형 박스거더라는 점에서 본 연구와 차이가 있다. 한편, Lim et al.^[25]은 I형 거더에 편심하중을 재하 함으로써 비틀림 모멘트가 I형 거더의 거동에 미치는 영향을 해석적으로 규명하였고, Kim et al.^[26]은 파형 복부판을 적용한 I형 거더의 극한거동에 대한 연구를 수행하였다. 그러나 두 연구는 뚜렷한 강도 산정 방안을 제시하지는 않았다. 본 연구에서는 단면의 다양한 강성(Rigidity)을 독립적으로 고려할 수 있는 해석 모델을 선정하고, 상용 프로그램인 Abaqus 6.13을 이용하여 매개변수 해석을 통해 극한 강도에 영향을 미치는 인자를 분석하였다. 그리고 최종적으로, 비지지 길이가 짧은 수평 곡선 강재 거더에 대한 극한강도 산정식을 제안하였다.

3. 구조해석

3.1 해석 개요

본 연구에서는 양단 균일 모멘트를 받는 단순 지지된 직선 및 곡선 부재를 대상으로 재료 및 기하 비선형 해석을 수행하였다. 거더는 4절점 쉘요소(S4R)을 이용하여 모델링 하였으며, 재료는 315 MPa의 항복응력을 갖는 강재로, 완전 탄소성거동을 가정하였다. 또한 각 모델에는 Fig. 1과 같이 Ga-lambos가 제시한 잔류응력 형태를 도입하였으며, 이때 r은 최대 압축 잔류응력 계수, g는 최대 인장 잔류응력 계수를 나타낸다. 재료의 항복 판별은 Von Mises Yield Criteria가 적용되었다.

Fig. 1.

Residual stress pattern

단순 지지를 모사하기 위한 경계조건은 Fig. 2(a)와 같으며, 변위 구속은 Fig. 2(b)에 나타내었다. 양단 고정 모멘트는 부재의 양 끝에 일련의 집중하중을 재하하여 모사하였으며, 그 형태는 Fig. 3(a)에 나타내었다. 그러나 이러한 형태의 하중을 재하할 시, 하중 재하 지점에 과도한 응력 집중으로 국부적인 파괴를 유발할 가능성이 있으므로 Fig. 3(b)와 같이 양단에 보 요소(B31)를 부가적으로 모델링하여(Dummy Beam) 국부 파괴를 방지하였다.

Fig. 2.

Boundary condition

Fig. 3.

Loading condition and dummy elements

한편, 이러한 보요소의 활용은 양단에서의 변위를 구속하여 부재의 거동 및 강도에 영향을 미칠 수 있다. 따라서 국부 파괴를 방지하는 범위 내에서 최소한의 강성을 갖도록 하여야 한다. 따라서 본 해석에 앞서 Dummy Beam의 강성을 결정하는 매개변수 해석을 실시하고 그 결과를 Fig. 4에 나타내었다.

Fig. 4.

Parametric study for various dummy beams

해석은 소성 비지지 길이 L_P보다 짧은 지간장을 갖는 직선 거더를 대상으로 실시하였으며, 이에 따라 부재는 소성 모멘트 M_P를 저항할 수 있어야 한다. Dummy Beam은 원형 단면을 갖는 것으로 가정되었으며, 그 직경(_d)과 플랜지 두께(t_f)의 비로써 강성을 나타낼 수 있다. 해석 결과를 통해 본 연구에서는 모든 모델에 대하여 플랜지 두께의 75%의 직경을 갖는 원형 단면 보요소를 가력부에 배치하여 국부 파괴를 방지하였다.

직선거더의 경우 횡-비틀림 좌굴을 유도하기 위해서는 초기 변형을 도입하여야 한다. 그러나 곡선 거더의 경우, 초기곡률은 그 자체로 초기 결함으로 간주될 수 있으며, 이에 따라 부가적인 초기변형 없이도 횡-비틀림 변위를 보이게 된다. 그러나 본 연구에서는 동일 조건하에 직선거더와 곡선거더의 거동 및 강도를 비교하기 위하여 곡선거더에도 직선거더와 동일한 양의 횡방향 및 회전방향 변위를 초기 결함으로 적용하였다. 초기결함은 거더중앙에 L/500의 횡변위, 1/500라디안의 회전방향 변위가 적용되었다.

3.2 극한 모멘트 강도

직선 거더와 달리 곡선 거더는 양단 균일 모멘트가 작용할 경우 지간에 걸쳐 모멘트 분포가 변화하게 되며, 평형을 만족 시키기 위하여 비틀림 모멘트 또한 발생하게 된다. 양단 고정 모멘트를 받는 거더의 휨 모멘트 선도 및 비틀림 모멘트 선도는 Figs. 5, 6과 같다. 두 선도에서 세로축은 대응하는 위치에 작용하는 단면력을 재하된 양단 모멘트로 나누어 그 비율을 표시한 것이다. 휨모멘트의 경우, 직선거더는 전 경간에 걸쳐 균일하게 분포하나, 곡률 중심각이 45°인 부재에 대해서는 지간의 중앙에서 재하한 모멘트보다 약 10%정도 더 큰 모멘트가 작용하게 된다. 따라서 곡선 거더의 경우, 부재 내에 작용하는 최대 모멘트로써 나타내어지는 거더의 극한강도는 중앙부에 작용하는 모멘트가 되어야 하며, 본 연구에서는 중앙 단면에 작용하는 응력을 단면력으로 환산하여 이를 강도로 산정하였다.

Fig. 5.

Bending moment diagram due to subtended angle

Fig. 6.

Torsional moment diagram due to subtended angle

3.3 수평곡선 I형 거더의 거동 양상

전술된 조건 하에서 곡선 거더의 거동 양상을 분석하기 위한 해석을 진행 하였다. 해석 모델의 단면은 현대제철에서 생산하는 기성품(H형강 350×350)을 대상으로 하였으며 Table 1에 나타난 바와 같이 다양한 곡률 중심각과 비지지 길이를 고려하였다. 한편, 국부좌굴에 대한 안정성은 식 (3)~(4)와 같이 2014 AASHTO LRFD Bridge Design Speci-fication에서 제공하는 요소 판별식으로써 검토 되었다. 플랜지와 복부판 모두 조밀로 판별 되었으며, 이에 따라 해당 단면은 국부 좌굴에 안정한 것으로 판단된다.

Table 1.

Model parameters

$\[ 0.38\sqrt{\frac{E}{F_y}}=9.82〉\frac{b_{\text{fc}}}{2t_{\text{fc}}}=9.21 \]$

(3)

$\[ 1.12\sqrt{\frac{\text{Ek}}{F_{\text{yw}}}}64.66〉\frac{D}{t_w}=27.58 \]$

(4)

Figs. 7과 8은 각각 직선거더와 곡률중심각 40°인 모델의 모멘트-회전변위 곡선을 나타낸 것이다. 이때 작용하는 모멘트는 거더의 중앙부에 작용하는 응력을 이용하여 계산 되어졌으며, 이를 소성모멘트 M_P로 나누어 정규화하였다. 수직변위와 평면 외방향 변위는 회전변위와 그 양상이 유사하다는 점을 명시한다. 회전 변위에서, 2.0L_P의 비지지 길이를 갖는 직선거더는 최대 변위가 0.3rad(17.2deg)인 반면, 동일한 조건의 곡선거더는 1.5rad(86.0deg)의 큰 회전 변위를 보였다.

Fig. 7.

Moment-rotational angle curve; straight girder

Fig. 8.

Moment-rotational angle cu-r----ve; curved girder (40 Deg)

Fig. 9는 해석 결과를 바탕으로 작성된 강도 곡선으로 각 부재의 강도를 2016 AASHTO LRFD Bridge Specifications에 제시된 직선거더의 강도 곡선과 비교한 것으로, 초기곡률의 도입이 부재 강도를 크게 저하시킴을 알 수 있다. 이는 휨-비틀림 모멘트 상호작용에 의한 것으로, 강도 감소폭이 매우 크므로 해석 및 설계 시 반드시 고려되어야 할 점이라 할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 소성 비지지 길이 이하의 지간을 갖는 부재에 대하여 강도를 추정하는 방법에 대해 집중적으로 논의 하였다.

Fig. 9.

Strength curve

4. 수평 곡선 거더의 휨-비틀림-수직 거동

양단 균일 모멘트를 받는 직선 I형 거더의 경우 하나의 플랜지는 작용하는 압축응력의 영향으로 인하여 약축으로 좌굴을 일으키려 하지만, 복부판에 의해 연속으로 지지되어 있기 때문에 부재 전체에 수평방향 및 회전방향 변위를 일으키게 된다. 이러한 변위는 작용하는 외력이나 내력에 수직방향으로, 좌굴 거동이라 할 수 있으며 이를 횡-비틀림 좌굴이라 한다(Lateral Torsional Buckling: LTB). 그러나 비틀림 모멘트가 항시 작용하고 있는 곡선 거더의 경우 횡방향 및 비틀림 방향 변위는 필연적으로 일어나게 되며, 이러한 거동을 좌굴로 정의하는 데는 어려움이 있다. 따라서 본 연구에서는 모멘트를 받는 수평곡선 I형 거더의 거동을 횡-비틀림-수직 거동(Lateral Torsional Vertical Behavior: LTV)으로 명명하고, 그 강도를 추정할 수 있는 방안을 모색한다.

3절의 해석결과에서와 같이 곡률의 증가는 부재의 거동 및 강도에 크게 영향을 미칠 수 있다. 비틀림 모멘트는 균일 비틀림과 불균일 비틀림으로 나누어 생각할 수 있으며 각각 비틀림 상수 J와 뒴 상수 C_w와 연관 지어 진다. 또한 작용하고 있는 모멘트는 단면 2차 모멘트 와 연관 지을 수 있다. 따라서 모멘트를 받는 곡선 거더의 경우 위의 세 가지 강성(휨강성, 순수비틀림강성, 뒴강성)의 영향을 받을 것이라 추정할 수 있으며, 본 절에서는 이 중 가장 크게 영향을 미치는 인자를 해석을 통해 밝히기로 한다.

총 450개의 부재가 해석 모델로 선택되었으며, 곡률중심각, 비지지 길이와 더불어 여러 가지 단면이 고려되었다. 해석 모델은 세 가지로 구분할 수 있으며, 이는 전술한 세 가지 강성(Rigidity)과 관련이 있다. 150개의 모델로 이루어지는 첫 번째 그룹의 경우 다섯 개의 단면이 고려되며, 각 단면은 거의 같은 뒴강성 및 비틀림 강성을 지니나 휨강성은 서로 다르다. 두 번째 그룹 역시 150개의 모델과 다섯 가지의 단면을 포함하며, 각 단면은 거의 같은 비틀림 강성 및 휨 강성을 지니나 뒴 강성은 서로 다르다. 마지막 그룹은 거의 같은 뒴 강성 및 휨 강성을 지니나 비틀림 강성이 서로 다르다. 이러한 변수 선정으로 강도에 가장 큰 영향을 미치는 인자를 도출하여 최종적으로 강도 산정식을 유도할 수 있다. Table 2는 본 해석에 대한 매개변수를 나타낸 것이다.

Table 2.

Model parameters

4.1 LTV 해석결과; Group #1

Table 3은 첫 번째 그룹의 단면치수와 해당하는 물성치를 나타낸다. 여기서 t_f는 상하부 플랜지 두께, b_f는 플랜지 폭, t_w는 복부판 두께, h는 상부플랜지 중앙에서 하부플랜지 중앙까지의 높이를 나타낸다. 전술한 바와 같이 다섯 개의 단면은 거의 동일한 비틀림 및 뒴 강성을 지니나 휨강성은 서로 다르다.

Table 3.

Section dimension & properties; group#1

Fig. 10은 비지지 길이와 곡률중심각에 따른 극한 강도 변화로, Sec#4에 대한 결과를 대표적으로 나타낸 것이다. 직선 거더는 최대 모멘트가 소성 모멘트 M_P와 같았으며 해석에 고려된 모든 모델이 소성 비지지 길이 L_P보다 작음을 고려할 때, 이는 타당하다. 그러나 부재의 곡률이 증가함에 따라 극한 강도는 급격히 감소하여 곡률 중심각이 30°인 모델은 직선 부재의 강도와 비교하였을 때 절반 수준을 보였다. 또한 곡선 부재의 경우 비지지 길이가 증가함에 따라 강도가 점진적으로 감소하는 경향을 보였으며, 이는 직선 부재의 비탄성 좌굴 강도곡선의 경향과 매우 유사하다.

Fig. 10.

Effect of unbraced length and curvature

반면 Figs. 11, 12는 휨강성에 따른 극한 모멘트 변화를 나타낸 그래프로 각각 직선 거더와 곡률중심각이 30°인 부재들의 결과를 대표적으로 보인 것이다. 이때 왼쪽 수직축은 극한 모멘트를 소성 모멘트로 나누어 정규화한 것이며, 오른쪽 수직축은 Sec#1의 휨강성 EI를 기준으로 Sec#2~5까지의 휨강성을 상대적으로 나타낸 것이다. 전술한 바와 같이 모든 단면은 거의 동일한 비틀림 및 뒴 강성을 지니고 있으며, 휨강성은 Sec#1에서부터 점차 감소하여 Sec#5의 휨강성은 Sec#1의 약 45%수준이다. 그러나 직선 및 곡선 거더의 극한강도는 휨강성과는 거의 무관한 것을 알 수 있으며, 이러한 경향은 곡률이 다른 모델에서도 동일하였다.

Fig. 11.

Effect of moment inertia–straight girder

Fig. 12.

Effect of moment inertia–curved girder (Deg 30)

4.2 LTV 해석결과; Group #2

본 절에서는 Group#2의 해석 결과를 도시하였다. Table 4는 Group#2에 해당하는 단면들의 치수와 기하 물성치를 나타낸다. 각 단면은 거의 동일한 휨 강성 및 비틀림 강성을 가지고 있으나, 서로 다른 뒴 강성을 지닌다. 이는 플랜지에 발생하는 휨 법선 응력과 뒴 법선응력의 중첩으로 인한 조기 항복이 강도를 저하 시킬 수 있는 가능성을 해석적으로 규명하고자 함이다.

Table 4.

Section dimension & properties; group#2

해석 결과에서 길이에 대한 영향은 Group#1과 동일한 결과를 보였음을 명시한다. 다시 말해, 곡선 거더의 경우 비지지 길이가 충분히 짧음에도 불구하고(L_b > L_P) 비지지 길이가 길어질수록 강도가 저하되는 경향을 보였다. 한편, Figs. 13과 14는 직선 거더와 곡률 중심각이 30°인 모델에 대하여 뒴 강성의 변화에 따른 강도 변화를 나타낸 것이다. 이때 왼쪽 수직축은 극한 모멘트를 소성 모멘트로 나누어 정규화한 것이며, 오른쪽 수직축은 Sec#10의 뒴강성 EC_w를 기준으로 Sec#6~10까지의 뒴 강성을 상대적으로 나타낸 것이다. 휨 강성과 마찬가지로, 뒴 강성 또한 극한강도에는 큰 영향을 미치지 않았으며, 이는 플랜지에 발생하는 불균일 응력 분포가 극한강도에는 큰 영향을 미치지 않음을 시사한다.

Fig. 13.

Effect of warping constant–straight girder

Fig. 14.

Effect of warping constant–curved girder (Deg 30)

4.3 LTV 해석결과; Group #3

본 절에서는 Group#3의 해석 결과를 논의한다. Table 5는 각 단면의 치수와 기하학적 물 성치를 나타낸 것이며, 각 단면의 휨강성 및 뒴강성은 거의 동일하고 순수비틀림 강성GJ가 변하는 것을 확인할 수 있다.

Table 5.

Section dimension & properties; group#3

Figs. 15~16은 직선과 곡률 중심각 30°를 갖는 곡선거더에 대하여 비틀림 강성이 극한강도에 미치는 영향을 나타낸 것이다. 해석 결과 길이에 대한 영향은 앞선 두 가지 경우(Group#1, Group#2)와 동일하였으나 극한강도는 비틀림 강성에 영향을 받고 있음이 나타났다. 직선 거더의 경우 소성모멘트에 도달할 때까지 횡 방향 및 회전방향 변위가 작으므로 비틀림이 극한강도에 미치는 영향은 크지 않다고 할 수 있다. 그러나 곡선 거더의 경우 하중 재하순간부터 비틀림 모멘트가 작용하며, 이는 각 요소에 전단 응력을 발생 시킨다. 이는 요소의 이른 항복을 야기하고 결과적으로 극한 강도를 감소시키게 된다. 꺾은선 그래프의 기울기는 비틀림 모멘트의 영향을 나타내며, 비틀림 모멘트가 곡률에 비례하여 커진다는 것을 상기하면(Fig. 5), 순수비틀림 강성은 곡률 효과의 영향으로 간주할 수 있다.

Fig. 15.

Effect of torsional constant–straight girder (Deg 30)

Fig. 16.

Effect of torsional constant–curved girder (Deg 30)

4.4 결과 분석

본 절에서는 해석 결과의 분석을 위해 각 모델의 파괴 모드를 분석하였다. 이를 위하여 Sec#5에서 비지지 길이 1.00L_P를 갖는 직선 거더와 곡선 거더(Deg30)를 대표 모델로 선정하여 각각의 파괴모드를 Figs. 17~18에 나타내었다.

Fig. 17.

Failure mode of straight girder

Fig. 18.

Failure mode of straight girder

먼저 직선 거더의 경우 법선 응력 분포는 Fig. 17(a)와 같다. 휨모멘트에 의하여 상하부 플랜지가 항복하고 부재의 강도인 소성 모멘트에 도달하게 된다. 따라서 직선 거더의 파괴는 법선 응력에 의한 전단면 항복에 의한 것이라 할 수 있다.

반면 곡선 거더의 경우, Fig. 18(a)와 같이 각 플랜지는 압축과 인장 응력을 동시에 받고 있음을 확인할 수 있다. 이는 뒴 법선응력에 의한 영향이며, 곡선 거더의 플랜지의 한쪽 끝은 조기에 항복에 이를 수 있다. 그러나 플랜지의 부분항복만으로는 곡선 거더의 파괴 거동을 완전히 설명 할 수 없다. 따라서 Figs. 17(b)와 18(b)를 통하여 직선과 곡선 거더의 법선응력 및 Von-Mises 응력 분포를 비교 분석하였다. 직선거더의 경우 법선응력 분포와 Von-Mises 응력 분포가 거의 같은 형상을 띄는 반면, 곡선 거더는 법선응력에 의하여 부재가 항복하지 않았음에도 불구하고 Von-Mises 응력은 요소 전반에 걸쳐 항복에 도달했음을 확인할 수 있다. 이러한 항복이 플랜지뿐 아니라 복부판에까지 동일한 경향을 보인 것은 휨 법선 응력과 비틀림에 의한 전단응력의 상호작용으로 판단할 수 있으며, 이는 3.3절의 해석 결과에서 얻어진 결과와 일맥상통한다. 요컨대 휨 모멘트와 비틀림 모멘트가 동시 작용하는 부재에서는 순수 비틀림의 부가적인 영향으로 인하여 각 요소가 항복하고 결과적으로 강도가 저하된다고 말할 수 있다.

5. 강도 산정 방안

곡선 거더에는 항시 비틀림 모멘트가 작용하므로 급작스러운 좌굴 현상이 아닌 점진적인 횡-비틀림-수직 거동을 보이게 된다. 이때, 불균일 비틀림은 플랜지의 끝단에 이른 항복을 야기할 수 있으나 극한 강도에 직접적인 영향을 주지는 않는다. 한편, 균일 비틀림으로 인하여 발생하는 전단응력은 법선응력과 상호작용을 일으켜 각 요소의 항복을 야기하며 이는 부재의 강도를 저하시키는 요인으로 작용한다. Figs. 19~20은 Sec#5중 1.00L_P의 비지지 길이를 갖는 직선 거더와 곡률중심각 30°인 곡선 거더에 대하여 극한 상태에서 전단응력 및 법선응력분포를 나타낸다. 전단 응력의 경우 양단에서 그 크기가 크고 중앙부로 갈수록 그 크기가 줄어들며, 이러한 양상은 Fig. 6의 비틀림 모멘트 선도와 그 양상이 동일하다. 직선 거더의 경우 최대 전단응력은 복부판에서 발생했으며 그 크기는 67.2MPa이다. 이때 압축 플랜지는 315MPa의 압축응력을 받고 있어 항복한 상태로, 파괴 모드는 휨에 의한 것이라 할 수 있다. 반면 곡선 거더의 경우, 최대전단응력이 지점부 부근 플랜지에서 발생 하였으며 그 크기는 181.9MPa로 전단항복응력에 가깝다. 가해진 외력이 0.5M_P에도 못 미치는 것을 고려하면 곡선 부재의 파괴는 주로 균일 비틀림에 의한 것이라 판단할 수 있다.

Fig. 19.

Stress distribution of straight girder

Fig. 20.

Stress distribution of straight girder

한편, 곡선 부재의 강도에 영향을 미치는 다른 한 가지 요인으로 비지지 길이를 생각할 수 있다. 해석 결과를 볼 때 곡선 거더는 소성 비지지 길이 L_P보다 짧은 지간을 갖는 부재에서 또한 길이에 따른 강도 변화를 보였다. 따라서 극한 강도에 영향을 미치는 인자는 가해진 비틀림 모멘트와 비지지 길이, 그리고 단면의 비틀림 강성이라 할 수 있다.

단면 강도 산정 측면에서 순수 비틀림 모멘트의 영향을 고려하기 위해서는 각 단면에 가해지는 비틀림 모멘트를 정규화 할 필요가 있다. 본 연구에서는 외력에 의하여 발생하는 1차 비틀림 모멘트는 자유 물체도를 이용하여 Fig. 6과 같이 구하고, 최대 비틀림 모멘트는 단면의 소성 비틀림 모멘트로 정규화 하였다. 소성 비틀림 모멘트는 균일 비틀림과 불균일 비틀림에 대한 소성 비틀림 모멘트의 합으로 나타낼 수 있으나, 이 중 균일 비틀림이 곡선 거더의 강도에 영향을 미치므로 본 연구에서는 식 (5)를 사용하여 균일 비틀림에 대한 소성 모멘트 T_P를 구하고(Yong-Lin Pi et al., 2000^[17]) 이를 이용하여 작용하는 비틀림 모멘트를 정규화하였다.

여기서, f_yo=yield stress
b_f=flange width
h=depth of section
t_f=thickness of flange
t_w=thickness of web

다음으로 휨 모멘트와 비틀림 모멘트간의 관계를 살펴볼 필요가 있다. 부재의 모멘트 강도는 정규화된 비틀림 모멘트(T/T_P)의 함수로 나타낼 수 있으며 각 해석 결과에 대하여 휨-비틀림 간의 관계를 분석하였다. Fig. 21은 Sec#15에 대한 휨-비틀림 관계를 대표적으로 도시한 것이다. 이 그래프는 곡선 부재의 강도에 영향을 미치는 세 가지 인자를 모두 포함하고 있으며, 이들에 대한 분석을 통해 강도식을 도출해 낼 수 있다. 도시한 바와 같이 상호 작용 그래프는 직선의 형태에 매우 가까우며 이에 따라 1차식 형태의 보간식을 얻을 수 있다. 이때 평균 R²값은 0.9994이며, 보간을 통하여 얻어진 일차식의 기울기는 초기 곡률에 의한 비틀림 모멘트의 영향을, y절편은 비지지 길이의 영향을 반영한다. 각 해석 결과에 대한 기울기와 y절편을 비지지 길이에 따라 정리하여 다시 한 번 보간 해석을 실시하였다. 그 결과 휨-비틀림 상관식의 기울기는 식 (6)과 같이 나타낼 수 있으며, y절편은 식 (7)과 같이 얻어질 수 있다.

Fig. 21.

M-T relationship; Sec#15

여기서, x = L_b/L_P
L_b = Unbraced Length
L_P = Compact Unbraced Length

이를 최종적으로 정리하여 간단히 나타내면 곡선 부재의 모멘트 강도는 다음과 같이 정리될 수 있다.

여기서, x = L_b/L_P
T_max=Maximum Torsional Moment calculated by 1st order analysis
T_P=plastic uniform torsional moment

결론적으로 곡선 부재의 모멘트 강도는 비지지 길이와 비틀림 모멘트의 함수로 나타내어 질 수 있다. 강도식에서 좌변의 첫 번째 항은 음의 부호를 띠고 있으며 이는 작용하는 비틀림 모멘트에 의한 강도 감소분을 나타내고, 이는 직선 거더에서 0이 된다. 따라서, 본 식은 직선 및 곡선 거더에 적용할 수 있는 일반적인 강도 식으로써 그 의미를 지닌다.

6. 결과 비교

제시된 강도 산정식을 검증하기 위하여 본 해석에서 고려되지 않은 임의의 단면에 대한 구조해석을 추가로 수행한 뒤 그 결과를 강도식에 의한 예측값 및 선행연구와 비교하였다. 해석 단면에 대한 제원은 Table 6에 나타내었다. 검증을 위한 구조 해석 모델은 총 60개로, 각 단면에 대하여 비지지 길이는 0.75L_P, 0.80L_P, 0.85L_P, 0.90L_P, 0.95L_P, 1.00L_P, 곡률 중심각은 0°, 10°, 20°, 30°, 40°을 고려하였다.

Table 6.

Section dimension; verification models

두 단면 중 대표적으로 Sec#16에 대한 비교 결과를 Table 7에 나타내고 그 강도 곡선을 그래프의 형태로 Fig. 22에 보였다. Yoo et al.(1996)^[20]의 식은 2절에 기술한 바와 같이 선형 탄성 좌굴 해석에 기반하여 강도 감소 계수를 적용하였으며 이를 직선 부재 강도에 곱하여 곡선 부재의 강도를 산정한다. 그러나 이러한 방법은 길이나 단면 특성을 반영할 수 없어, 결론적으로 극한강도를 과대평가할 수 있는 위험성을 내포한다.

Table 7.

Verification of suggested equation – sec#16

Fig. 22.

Verification analysis results–sec#16

반면 본 연구의 제안식은 소성 비지지 길이 L_P보다 짧은 곡선 및 직선 거더의 강도를 효과적으로 계산할 수 있다. Fig. 22(b)에서 꺾은선 그래프는 제안식의 결과이며, 막대 그래프는 각 비지지 길이에 대한 평균 오차율(구조해석결과-제안식 결과)의 절대 값을 나타낸다. 제안식은 비지지 길이와 곡률이 증가할수록 강도를 실제보다 다소 작게 평가하고 있음을 알 수 있다. Sec#16과 17을 반영한 모든 검증 모델의 오차율은 최대 6.85%, 평균 0.88%로 매우 우수한 결과를 보이고 있다.

7. 결 론

본 연구에서는 양단 고정 모멘트를 받는 수평곡선 I형 거더에 대하여 단면, 비지지 길이, 곡률을 매개변수로 하여 구조해석을 실시하고 최종적으로 비지지 길이가 L_P보다 짧은 부재들에 대한 강도 산정식을 제안하였다. 수평 곡선 부재는 비틀림 모멘트의 영향으로 단면에는 응력이 불균일하게 분포하게 되어 해석 및 설계가 매우 어렵다. 그러나 곡률 효과에 의하여 저하되는 부재 강도 산정에 관련한 연구는 그 수가 비교적 적고, 국내외 현행 설계 기준 또한 명확한 강도식을 제시하고 있지 않아 일반적인 설계에 대한 적용이 쉽지 않다. 현재 곡선 부재에 대한 설계기준은 미국의 2014 AASHTO LRFD Bridge Design Specification이 유일하나, 강도 측면에서는 직선 거더의 횡-비틀림 좌굴 강도식을 이용하고 One-third rule로써 법선응력을 검토하는 데 그치고 있다. 그러나 곡선 거더의 횡방향 및 비틀림 변위는 비틀림 모멘트에 의한 필연적 현상으로 좌굴 거동이라 단정 짓기 어렵다. 따라서 본 연구에서는 이러한 양상을 횡-비틀림-수직거동(Lateral Torsional Vertical Behavior: LTV)로 재정의 하고, 강도 및 거동에 가장 큰 영향을 미치는 인자를 유한요소 해석을 통해 분석 하였다. 결론적으로 곡선 거더의 극한 거동은 비지지길이, 비틀림몸멘트(곡률), 순수 비틀림 강성에 의해 지배 된다고 말할 수 있다. 본 연구에서는 위 세 가지 인자를 모두 고려하여 양단 균일 모멘트를 받는 단순 지지된 수평곡선 I형 거더에 대한 강도 산정식을 제안하였다. 제안식은 비틀림 모멘트의 영향을 고려할 수 있는 항과 휨모멘트의 영향을 고려할 수 있는 항으로 나뉜다. 이때 비틀림 모멘트와 관련된 항은 음의 부호를 띄고 있는데, 곡률이 커질수록 작용하는 비틀림 모멘트가 증가하므로, 그에 대한 강도 감소분을 효과적으로 고려할 수 있다. 제안식은 유한요소 해석 결과와 매우 잘 일치하며, 선행연구에 비해 그 정확도가 크게 향상되었다.

사실상 곡선 거더는 비틀림 모멘트를 상시 저항해야 하므로 휨 부재보다는 휨-비틀림 부재로써 인식됨이 바람직하다. 본 연구결과는 이러한 측면에서 곡선 부재의 강도를 효율적이고 정확하게 추정할 수 있는 방안을 마련하였으며, 그 식의 형태가 단순하여 실무 적용이 간편할 것으로 판단된다.

Acknowledgments

이 성과는 2015년도 정부(미래창조과학부)의 재원으로 한국 연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(NRF-2015R1C 1A1A01052250).

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