웨브 구속과 모멘트 구배가 H형강 보 세장 플랜지 국부좌굴 강도에 미치는 영향

1. 서 론

최근 건물 및 교량 건설에 고강도강에 대한 수요가 증가하면서 고강도강 적용에 대한 다양한 연구^[1],[2],[3]가 활발히 진행되고 있다. 고강도강을 사용할 경우 콤팩트 한계세장비를 초과할 가능성이 증가하므로 탄성 국부좌굴 강도를 확인할 필요가 있다. 과거 여러 연구자에 의해 강재의 국부좌굴에 대한 연구가 수행되었다. Johnson^[4]은 균등모멘트를 받는 H형강보 휨 실험을 통해 웨브 세장비가 플랜지국부좌굴(FLB)에 미치는 영향을 분석하였으며, 이 연구 결과가 현행 설계기준(2016 KBC^[5], 2016 AISC^[6])의 세장판플랜지를 갖는 H형강보의 플랜지국부좌굴강도 규정의 근간이 되었다. Lundquist and Stowell^[7]은 에너지법을 이용하여 플랜지와 웨브의 상대휨강성으로 플랜지국부좌굴강도를 나타내었으며 Seif and Schafer^[8]는 AISC 열연 단면에 대해 finite strip method를 통해 경험식을 유도하였다. 하지만 이 경험식은 AISC 단면 데이터베이스 이외의 형상을 갖는 조립보에 적용하기에는 한계가 있다. Ragheb^[9]는 플랜지와 웨브의 상호작용이 한계세장비에 미치는 영향에 대해 연구하였다. Yu and Schafer^[10]에 의해 압축력의 분포형상이 판재의 국부좌굴에 미치는 영향에 대한 연구도 수행되었다. Yu and Schafer^[10]의 연구에 의하면 비구속판 요소의 좌굴강도는 압축력의 구배에 큰 영향을 받으므로 압축력의 구배를 무시할 경우 좌굴강도가 매우 보수적으로 산정된다. Table 1은 저자가 최근 수행한 고강도강(HSB800, HSA800)과 일반강(SM490) 조립보 실험체로 횡구속된 단순지지 된 보를 중앙부 집중가력하여 플랜지 국부좌굴을 유도하였다. 실험결과^[11] Fig. 1. 및 Table 1과 같이 세장단면 또는 세장단면에 가까운 플랜지를 갖는 실험체에서 상당한 초과 휨강도를 나타내었다.

Table 1.

Overstrength observed in slender or almost slender flange specimens

Fig. 1.

Comparison of experimental and KBC nominal FLB strength

Fig. 2.와 같이 중앙부 수직스티프너와 모멘트 조건을 변경한 단면에 대한 수치해석 등을 통하여 초과 휨강도의 원인을 다음과 같이 분석하였다. 1) 중앙부 수직스티프너에 의해 모멘트가 최대인 보 중앙부에 발생하지 않고, 수직스티프너 옆쪽에 플랜지국부 좌굴이 발생하여 좌굴이 지연되었다. 그리고 수직스티프너가 좌굴장 단부에 추가의 회전구속을 제공하여 좌굴강도를 증가시켰다. 2) 플랜지국부좌굴 발생 후에도 응력재분배에 의해 추가의 휨강도를 발휘하였다. 3) 설계기준의 국부좌굴강도는 플랜지가 좌굴구간에 일정한 압축력을 받는 조건으로부터 유도된 것으로 실험과 같이 구배를 갖는 모멘트를 받는 경우에 비해 불리한(보수적으로) 상황을 가정하여 유도되었다.

Fig. 2.

Behavior of specimens with slender section (Lee et al.[11])

본 연구에서는 과도하게 보수적인 현행 설계기준의 플랜지국부좌굴식의 정확성을 높일 수 있는 새로운 탄성 플랜지국부좌굴 강도식 제안을 목표로 하였다.

2. 현행 설계기준 분석

H형강은 판요소의 조합으로 볼 수 있으며 플랜지는 한쪽이 웨브에 구속되어 있는 비구속판요소이다. 고전 판 이론에서 등분포 축력을 받는 판의 탄성좌굴응력은 다음과 같다.

여기서, b는 판의 폭, t는 판의 두께, E는 영계수, ν는 프아송비, k는 판좌굴계수, D는 판의 휨강성 $$ \left[D=\frac{{Et}^3}{12\left(1-{\nu }^2\right)}\right]$$이다.

H형강에서 판좌굴계수 k는 웨브에 의한 휨구속 정도를 나타낸다. 프아송비 ν를 0.3으로 하였을 때 강구조 기준의 세장플랜지 H형강 공칭 휨강도는 식 (2)와 같이 식 (1)의 판 좌굴 이론식과 동일하다.

여기서, F_cr은 플랜지좌굴응력, S_x는 탄성단면계수, λ는 판폭두께비 (λ=b/t_f), t_f는 플랜지 두께, k_c는 비구속세장판요소계수이며 다음과 같다.

여기서, h는 상하 플랜지간의 순거리, t_w는 웨브의 두께이다.

식 (2)와 같이, 설계기준^[5],[6]의 k_c는 식 (1)의 판좌굴계수 k와 동일하다. 설계기준의 k_c는 플랜지와 웨브의 상호영향을 고려하여 Johnson^[4]이 제안한 값이다. Johnson^[4]은 플랜지와 웨브의 판폭두께비가 큰 19개의 보에 대해 휨 실험 결과를 회귀분석하여 다음의 좌굴계수를 제안하였다.

식 (3), (4)를 비교해보면 설계기준^[5],[6]의 k_c는 Johnshon^[4]의 제안식을 일부 수정한 것임을 알 수 있다. Johnson^[4]의 식은 다음과 같은 문제가 있다. Table 2는 1978 AISC^[12]와 2016 AISC^[6](2016 KBC^[5]의 해당조항과 동일)의 플랜지와 웨브의 판폭두께비 제한값을 정리한 것이다. Table 2에서와 같이 휨재의 비콤팩트요소 판폭두께비 제한값은 플랜지는 $$ 0.56\sqrt{\frac{E}{F_y}}$$에서 $$ 0.95\sqrt{\frac{k_{c}E}{F_L}}$$으로 웨브는 $$ 4.5\sqrt{\frac{E}{F_y}}$$에서 $$ 5.7\sqrt{\frac{E}{F_y}}$$로 1978 AISC^[12]보다 현행기준^{[5], [6]}에서 완화되었다. Fig. 3.은 Johnson^[4] 실험체의 플랜지 웨브 판폭두께비 분포를 도시한 것이다. Fig. 3.을 보면 대부분의 Johnson 실험체는 1978 AISC^[12]에 따라 세장 웨브와 세장 플랜지 조합으로 설계되었으나, 현행기준^[5],[6]으로는 비콤팩트 또는 콤팩트 플랜지와 세장 웨브 조합에 해당된다. 현행기준^[5],[6]에서 비콤팩트 플랜지와 세장 웨브 조합의 H형강 플랜지국부좌굴강도는 잔류응력을 고려하여 선형보간한 비콤팩트 단면의 휨강도식에 휨강도감소계수 R_pg를 곱하여 웨브 세장효과를 반영하며, 콤팩트 플랜지의 경우는 플랜지국부좌굴을 한계상태로 가정하지 않는다. 이처럼 비콤팩트 또는 콤팩트 플랜지와 세장 웨브 조합을 근거로 산정된 k_c를 세장 플랜지와 콤팩트 또는 비콤팩트 웨브에 적용하는 것은 적절치 못하며, 적합한 단면으로부터 k_c를 다시 산정할 필요가 있다.

Table 2.

Flange and web limiting width-to-thickness ratio for noncompact section according to the 1978 and 2016 AISC specification

Fig. 3.

Web and flange slenderness distributions of Johnson’s test specimens

현행 기준^[5],[6]의 과도하게 보수적인 공칭강도는 웨브에 의한 플랜지 구속효과를 과소평가하였기 때문이다. 본 연구에서는 현행설계식의 도출과정의 모순을 극복할 수 있는 세장플랜지와 콤팩트 또는 비콤팩트 웨브 조합 H형강보의 탄성 플랜지국부좌굴 강도식을 제안하고자 혼합변분법(mixed variational approach)을 사용하여 플랜지국부좌굴 강도식을 유도하였다.

3. 혼합변분법으로 유도한 탄성 플랜지국부좌굴 강도

판에 작용하는 전단력과 모멘트는 고전 판이론에 따라 다음과 같이 표기할 수 있다.

여기서, M_x와 M_y는 단위길이당 휨모멘트, M_xy는 단위길이당 비틀림모멘트, Q_x와 Q_y는 전단력, w는 면외방향 처짐이다.

판에 압축력 N_x이 작용할 때 면외방향의 힘의 평형조건을 정리하면 다음과 같다.

판의 경계조건과 가력조건이 복잡할 경우 식 (5), (6)의 정해를 구하는 것은 쉽지 않다. 본 연구에서는 식 (7)과 같이 가중적분(weighted-integral)을 사용하여 weak form을 만족하는 근사해를 도출하였다.

여기서, W는 가중함수, R은 잔차(residual)이다.

변분법에서는 경계조건에서 가중함수를 주변수(primary variable)라 하며, 가중함수의 계수를 보조변수(secondary variable)라 한다. 혼합변분법(mixed variational method, MVM)은 보조변수도 주변수와 함께 종속변수로 다룬다.^[13] 혼합변분법을 사용하면 다양한 경계조건에 대해 최소 포텐셜 에너지법(minimum total potential energy method)에 비해 하중을 보다 정확하고 쉽게 얻을 수 있다. 이러한 장점을 고려하여 본 연구에서는 혼합변분법으로 H형강 플랜지의 좌굴식을 유도하였다. 혼합변분법의 기본개념은 다음과 같다.

여기서, $$ {\delta }_u{\Pi }_m=\int W_1{R}_{1}dxdy, {\delta }_N{\Pi }_m=\int W_2{R}_{2}dxdy, $$W₁과 W₂는 가중함수, R₁과 R₂는 잔차이다.

본 연구에서는 W₁ = δw, W₂ = δM , R₁은 평형방정식[식 (6)]의 잔차, R₂는 모멘트 처짐 관계식[식 (5)]의 잔차이다. 즉, δ_uΠ_m는 시스템에 가상의 변위를 주었을 때 가상일, δ_NΠ_m는 시스템에 가상힘을 가했을 때 가상일에 해당한다. 혼합변분법은 두 개의 가상일에 대한 함수를 만족하는 해를 찾는 과정이며, 이때 최소 포텐셜 에너지법(minimum total potential energy method)이 변위에 대한 경계조건만을 적용하는데 비해 변위와 힘에 관한 경계조건을 모두 적용하여 해를 찾는 차이가 있다. H형 강의 탄성 플랜지좌굴강도를 위한 혼합변분법은 다음과 같이 정리할 수 있다.

3.2 모멘트 조건에 따른 플랜지 압축력

플랜지에 작용하는 압축력은 보의 모멘트 분포에 따라 Fig. 4.와 같이 보의 길이 방향으로 선형분포형상을 갖는다. 등분포모멘트를 받는 보의 플랜지는 식 (13)과 같이 전구간에 걸쳐 동일한 크기의 압축력을 받는다.

$\[ N_x=F_{cr}{t}_f \]$

(13)

Fig. 4.

Uniform versus gradient moment loading

보 중앙에 집중하중을 받는 경우에는 식 (14)와 같이 모멘트 분포와 일치하는 구배를 갖는 압축력을 플랜지가 받게 되며, 등분포 모멘트 조건보다 더 큰 좌굴하중을 받을 수 있다.

$\[ N_x=F_{cr}{t}_f\left(1-\frac{x}{L/2}\right) \]$

(14)

3.3 경계조건

플랜지는 Fig. 5.와 같이 웨브(y = 0)에 구속되어 있다. 플랜지좌굴하중을 얻기 위해서는 식 (10), (11), (12)에 웨브 구속을 포함한 플랜지 4면의 기하학적 경계조건(geometric boundary condition)과 힘 경계조건(force boundary condition)을 반영하여야 한다.

Fig. 5.

Boundary conditions of the half flange of I-shaped beams

웨브구속 경계조건 (y = 0 ):

다음의 처짐 및 모멘트 조건을 만족해야 한다.

$\[ w_f=0 \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d} M_y=-\overline{\zeta }\theta =-\overline{\zeta }\frac{{\partial w}_f}{\partial y} \]$

(15)

여기서, $$ \overline{\zeta }$$는 H형강 한쪽 플랜지에 대한 웨브의 단위길이당 회전 구속, θ는 플랜지와 웨브 연결부의 회전각이다(Fig. 5. 참고).

자유단 경계조건 (y = b ):

다음의 힘 경계조건을 만족해야 한다.

$\[ M_y=0 \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d} V_y=0 \]$

(16)

여기서, V_y는 유효전단력(effective shear force)이며 다음과 같이 정의된다.

$\[ V_y=Q_y+\frac{{\partial M}_{xy}}{\partial x}=-D_f\left[\frac{{\partial }^3{w}_f}{{\partial y}^3}+\left(2-\nu \right)\frac{{\partial }^3{w}_f}{{\partial x}^2\partial y}\right]=0 \]$

(17)

여기서, $$ \frac{{\partial M}_{xy}}{\partial x}$$는 비틀림 모멘트 M_xy에 의해 경계지점에 추가로 작용하는 전단력이다.

그리고, 3.4절에서 w_f(x, y), M_x(x, y), M_y(x, y)의 근사함수를 가정할 때 식 (15), (16)의 [w_f]_{y = 0}와 [M_y]_{y = b}경계조건을 만족하는 함수로 가정하였다.

단순지지 경계조건 (x = 0 a n d x = a):

Fig. 5.의 플랜지의 x = 0, x = a 단부는 단순지지로 가정하였으며, 3.4절에서 처짐 및 모멘트 근사함수를 가정할 때 다음의 조건을 만족하도록 하였다.

$\[ w_f=0, \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d} M_x=0 \]$

(18)

3.5 웨브 강성 산정

H형강보의 플랜지가 sine 함수 형태로 좌굴하는 경우 플랜지와 웨브 연결부에 sine 함수 형상의 모멘트가 유발된다. Fig. 6.과 같이 보수적으로 상부플랜지와 웨브의 연결부를 제외한 웨브의 나머지 경계면은 단순지지로 가정하였다. 웨브의 경계조건을 정리하면 다음과 같다.

Fig. 6.

Sinusoidal edge moment induced to beam web upon flange local buckling

$\[ \begin{array}{c}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }x=0, a :w_w=0, \frac{{\partial }^2{w}_w}{{\partial x}^2}=0\hfill \\ \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }y=0 :w_w=0, \frac{{\partial }^2{w}_w}{{\partial y}^2}=0\hfill \\ \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }y=h :w_w=0, -D_w\left[\frac{{\partial }^2{w}_w}{{\partial y}^2}+\nu \frac{{\partial }^2{w}_w}{{\partial x}^2}\right]=M\left(x\right)=M_f\sin \frac{\pi x}{a}\hfill \end{array} \]$

(22)

여기서, a는 플랜지 좌굴형상의 반파장길이, w_w는 웨브의 면외 처짐, D_w는 웨브의 휨강성 $$ \left[D_w=\frac{{Et}_w^3}{12\left(1-{\nu }^2\right)}\right]$$, M_f는 플랜지 좌굴에 의해 유발된 sine형상 모멘트의 진폭, h는 웨브의 높이(상하플랜지 사이의 순간격).

웨브의 지배방정식은 다음과 같다.

$\[ D_w\left(\frac{{\partial }^4{w}_w}{{\partial x}^4}+2\frac{{\partial }^4{w}_w}{{\partial x}^2{\partial y}^2}+\frac{{\partial }^4{w}_w}{{\partial y}^4}\right)=0 \]$

(23)

식 (23)의 일반해는 삼각함수와 쌍곡선함수의 곱으로 정리할 수 있으며, 식 (22)의 경계조건을 적용하면 웨브의 처짐은 식 (24)와 같이 정리된다.

$\[ w_w=\frac{1}{2\pi c\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\pi c}\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\pi c\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\pi c\frac{y}{h}\right)-\frac{y}{h} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\pi c\frac{y}{h}\right)\right]\frac{h^2}{D_w}M\left(x\right) \]$

(24)

여기서, c = h/a 웨브의 유효 형상비다.

플랜지 웨브 연결부의 회전각은 식 (24)를 편미분한 식 (25)와 같다.

$\[ \theta ={\left[\frac{{\partial w}_w}{\partial y}\right]}_{y=h}=\frac{-1}{2\pi c{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2\pi c}\left[\pi c-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\pi c\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\pi c\right]\frac{h}{D_w}M\left(x\right) \]$

(25)

H형강의 웨브는 양쪽의 플랜지를 구속하고 있기 때문에, 웨브에 의한 한쪽 플랜지의 단위길이당 회전구속강성 $$ \left(\overline{\zeta }\right)$$은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\[ \overline{\zeta }=\frac{1}{2}\frac{M\left(x\right)}{\theta }=\frac{1}{2}{C}_s\frac{D_w}{h} \]$

(26)

여기서, C_s는 무차원 웨브강성계수(C_s)이며 다음과 같다.

$\[ C_s=\frac{{2\pi c\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2\pi c}{\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\pi c\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\pi c-\pi c\right)} \]$

(27)

식 (27)과 같이 C_s는 웨브 유효형상비(c = h/a)의 함수이며, 좌굴 반파장길이 a는 여전히 미지수이다.

4. 혼합변분법

식 (10), (11), (12)의 혼합변분식에 w_f (x, y) M_x (x, y)와 M_y (x, y)의 근사함수[식 (19)~(21)]를 대입하면 식 (28)과 같이 24×24 크기의 매트릭스로 정리할 수 있다.

플랜지좌굴하중 N_{x, min}는 식 (28)에 경계조건을 반영한 후 고유치 해석을 통해 얻어진다. 하나의 $$ \overline{\zeta }$$에 대해 다양한 좌굴길이 a를 입력하여, 최소값을 갖는 좌굴하중 N_{x, min}를 구할 수 있다. 얻어진 좌굴하중을 바탕으로 식 (29)와 같이 플랜지국부좌굴계수 k_min을 산정한다.

여기서,

혼합변분법으로 얻은 결과와 혼합변분법의 약산식을 검증하기 위해 세장플랜지와 콤팩트 또는 비콤팩트 웨브를 갖는 H형보에 대해 수치해석을 수행하였다(Table 3, 4 참고). 해석모델은 S4R 쉘요소로 모델링하였으며 상용프로그램인 ABAQUS를 사용하여 좌굴해석하였다. Fig. 2(b).는 HSA800-S-LPD-3-FHS에 대한 실험결과와 수치해석으로 얻은 플랜지국부좌굴 강도를 비교한 것으로 수치해석결과가 실험결과^[11]와 일치하는 결과를 보여준다.

Table 3.

Analyzed and comparison of FLB coefficients for H-shaped beams under uniform moment

Table 3, Table 4는 수치해석결과와 혼합변분법, 설계강도^[5],[6]를 정리한 것이다. Table 3, Table 4에서 ζ는 웨브와 플랜지의 상대 휨강성비로 다음과 같이 정의하였다.

여기서, $$ \overline{\zeta }$$는 웨브에 의한 한쪽 플랜지의 단위길이당 회전구속강성이며, 식 (26)과 같이 정리된다. 이론적으로 플랜지가 웨브에 의해 완전 구속되어 있으면 ζ는 영이며, 플랜지 웨브 연결부가 힌지에 가까우면 ζ는 무한대의 값을 갖는다.

Table 4.

Analyzed and comparison of FLB coefficients for H-shaped beams under moment gradient

Fig. 7.은 Table 3, Table 4의 혼합변분법(MVM)과 설계기준^[5],[6]의 플랜지국부좌굴계수를 수치해석결과와 비교한 그림으로 혼합변분법으로 얻은 결과(k_MVM)는 넓은 범위의 상대휨강성비에 대해 현행설계기준^[5],[6](k_KBC)보다 훨씬 정확한 결과를 나타내었다.

Fig. 7.

Comparison of kmin values predicted by mixed variational approach and FEM

5. 약산식 제안

5.1 등분포모멘트를 받을 때

식 (30)의 분자 (D_f /b)는 단순계산으로 얻을 수 있지만, 분모의 $$ \overline{\zeta }$$는 웨브유효형상비(c = h/a)의 함수로 식 (26), (27)을 경계조건에 반영한 고유치 해석으로부터 얻을 수 있는 값이다. 따라서, 고유치 해석을 생략한 약산식을 유도하기 위해서는 좌굴함수의 반파장길이 a를 적절히 가정할 필요가 있다. 식 (26), (27), (30)을 정리하면, 좌굴함수의 반파장길이 a가 커지면 ζ를 증가시켜 보다 작은(보수적인) 플랜지좌굴계수 k_min을 얻게 된다. Table 5에 기재된 다양한 단면에 대한 플랜지좌굴형상비(m = a/b)를 살펴보면, 일부 단면을 제외하면 대부분의 단면은 플랜지좌굴형상비가 3을 넘지 않음을 알 수 있다. 이에 보수적으로 플랜지좌굴형상비를 3으로 가정하여 다음과 같이 웨브유효형상비를 가정하였다.

$\[ c=\frac{h}{a}=\frac{h}{mb}\approx \frac{h}{3b} \]$

(31)

식 (31)을 적용하고 혼합변분법 결과를 회귀분석하여, 다음의 플랜지국부좌굴계수 약산식을 제안하였다(Fig. 8. 참고).

Fig. 8.

kmin values for H-shaped beams under uniform moment

Fig. 9.

kmin values for H-shaped beams under moment gradient

(32)

여기서, $$ \zeta \equiv \frac{D_f/b}{\overline{\zeta }}, \overline{\zeta }\equiv \left[\frac{ \pi c{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2\pi c }{\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\pi c\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\pi c-\pi c\right) }\right]\frac{D_w}{h}, c=\frac{h}{3b}.$$

6. 결 론

세장 플랜지를 갖는 H형강보의 플랜지국부좌굴 강도에 대한 본 연구의 결과를 정리하면 다음과 같다.

• 1) 현행 설계기준의 세장플랜지국부좌굴강도의 근간이 되는 Johnson의 연구에서 분석한 실험체는 설계기준의 한계 폭두께비 완화로 인해 목표한 단면에 해당하지 않음을 규명하였다.
• 2) 설계기준에서는 플랜지좌굴계수를 산정할 때 웨브의 폭두께비만을 고려하지만, 연구결과 웨브와 플랜지의 상대휨강성비와 모멘트구배효과를 반영하여 산정하는 것이 합리적임을 규명하였다.
• 3) 웨브와 플랜지의 상대휨강성비, 플랜지 폭과 보경간 길이의비를 변수로 하여 웨브구속효과와 모멘트구배효과를 반영한 플랜지좌굴계수 산정식을 혼합변분법을 사용하여 유도하였다.
• 4) 복잡한 계산 없이 플랜지좌굴계수를 결정할 수 있는 약산식을 제시하였으며, 제안된 식은 현재 설계기준 보다 일관되고, 정확한 결과를 나타내었다.

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