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Fig. 3는 x z 평면에 존재하는 곡선보 요소의 국부좌표계에서의 부재 변위(u_y, ψ_x, ψ_z)와 내력(F_y, M_x, M_z)을 보여준다. x, y, z는 전체좌표계이며 x, y, z는 요소의 국부좌표계를 나타낸다. 국부좌표계의 x축은 곡선보의 반경 방향이며 z축은 접선방향 그리고 y축은 면외 방향이다. 곡선보 요소는 접선방향에 따라 단면이 일정하며 x축에서 시계방향으로 θ₁만큼 회전한 노드 ①과 θ₂만큼 회전한 노드 ②를 연결한다. 여기서, 회전각 θ₂와 θ₁의 차이 α는 곡선보 요소의 분할각을 의미한다. 곡률 중심으로부터 반지름이 R인 곡선보는 접선방향으로 x축과 y축 대칭 단면이므로 Wu and Chiang^[7]이 제시한 회전각(θ)에 따른 변위(u_y, ψ_x, ψ_z)의 관계를 적용할 수 있다.

Fig. 3.  
Element displacements(u_y, ψ_x, ψ_z) and element forces(F_y, M_x, M_z) of curved beam element with local coordinate system

변위와 회전각의 관계식은 식 (1)과 같다.

여기서,

식 (1a)–식 (1c)에서 G₁–G₆는 적분상수로서 곡선보 요소의 경계조건에 따라 결정된다. 식 (2a)–식 (2b)에서 C_o와 C_so는 곡선보 요소의 휨강성(EI_x)과 비틀림 강성(GJ_θ)의 비율(Φ_bt), 전단탄성계수(G), z축에 대한 단면적의 극 관성 모멘트(J_θ), 곡률 반경(R), 전단보정계수(k^′), 단면적(A)에 의해 결정된다. 또한, I_x는 x축에 대한 단면2차모멘트를 나타낸다.

식 (1a)–식 (1c)의 변위는 회전각에 따른 행렬과 적분상수 행렬의 곱으로 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서,

식 (3)에서 θ = θ₁인 경우와 θ = θ₂인 경우를 고려하면 식 (5)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서,

식 (5)로부터 적분상수 행렬은

변위방정식 식 (3)에 적분상수 식 (7)을 대입하면

이에 따라, 곡선보의 형상함수 행렬 [a]는 θ의 함수이며 식 (9)와 같다.

곡선보에 하중벡터 {P}가 원주(z축)방향으로 이동하는 경우를 고려하자. 하중은 분할된 1개의 곡선보 위에 작용할 때, 양단의 절점에 분배되는 하중은 형상 행렬 [a]에 의해 구해진다. 외력벡터 {P}와 분배된 하중 {F}의 관계식은 식 (10)로 나타낼 수 있다.

여기서,

곡선보에 면외(y축)방향으로 작용하는 하중 P_oy만이 원주(z축)방향으로 이동하는 경우를 고려하면 식 (10)은 식 (12)와 같다.

여기서,

여기서, a_yi(i = 1, 2, …, 6)는 외력이 시계방향으로 θ만큼 회전하여 작용할 때의 값이다.

단일 요소가 아닌 여러 요소로 나누어진 곡선보를 해석하기 위해선 방사형 국부 좌표계(xyz)에서 정의된 외력벡터 {F}를 전체 좌표계(x y z)의 외력벡터 {F}로 변환하여야 한다.

여기서,

여기서, [λ]는 변환행렬이다.

Fig. 4(a)는 길이(L)가 5.76 m인 곡선보를 보여준다. 레일은 n개의 요소를 가지며, 노드 N₁과 노드 N_n+1를 잇는 중심각이 120°이고, 반지름(R) 2.75 m인 부채꼴의 호 형태를 하고 있다. 즉, 중심각이 120°인 매니퓰레이터 레일을 분할각(α)에 따라 등간격으로 총 n개의 요소로 나누어 모델링을 진행하였다. 곡선보의 양단은 힌지로 고려하였고, 국부좌표계에서 x축·z축·y축의 처짐과 z축에 대한 처짐각을 구속하였다.

Fig. 4.  
A curved beam

Fig. 4(b)는 MIDAS CIVIL을 이용하여 매니퓰레이터 레일을 분할각(α)은 6°로 가정하여 총 20개의 요소 및 21개의 노드를 가진 곡선보를 보여준다.

매니퓰레이터 레일은 강재 SS275를 사용하며 단면의 지름 89.1 mm, 두께 5.5 mm인 파이프를 사용한다. SS275의 탄성계수(E = 205 GPa)와 푸아송비(υ = 0.3)에 의해 전단탄성계수(G = 788.46 GPa)를 산정할 수 있으며, 비중(γ)과 전단보정계수(k^′)는 각각 76.98 kN/m², 0.833을 사용한다. 단면 형상에 의하여 단면적(A)은 1,444.504 mm²으로 산정된다. 이에 따라, 식 (2)에 정의된 변위방정식의 상수는 Table 1과 같다.

레일 위를 이동하는 연직하중의 크기(P_oy)는 11.4 kN이며, 첫 번째 노드에서 마지막 노드까지 이동한다고 가정하였다. Fig. 5는 이동하중이 첫 번째 노드에서 마지막 노드까지 이동할 때, 각 노드에 작용하는 국부 좌표계에서 외력(F_y, M_x, M_z)의 크기를 보여준다. 또한, 이동하중에 의해 각 노드에 발생하는 국부 좌표계에서의 외력을 MIDAS CIVIL 모델에 적용하기 위해선 전체 좌표계의 외력으로 식 (14)를 통해 변환시켜야 한다. Fig. 6는 이동하중의 위치에 따라 모든 노드에 발생하는 전체 좌표계에서 외력(F_y, M_x, M_z)의 크기를 보여준다. 이동하중의 속도(v) 효과는 이동하중이 한 개 요소(길이 l)를 통과하는 데 소요되는 시간(l/v)을 사용하였다.

Fig. 5.  
External local forces acting on nodes

Fig. 6.  
External global forces acting on nodes

Figs. 7–9은 곡선보의 중앙지점(Fig. 4(b)의 절점 11)에서 시간이력에 따른 수직응답을 보여준다. 그래프의 x축은 경과된 시간을 이동하중이 곡선보를 통과하는 시간(t_d = L/v)으로 나눈 값을 나타내며, x축의 값이 1보다 클 때는 이동하중이 통과한 후 곡선보의 자유진동을 보여준다. 실선은 Yang et al.^[8]에 따른 곡선보의 이론해를 나타낸다. 또한, 유한요소해석으로서 점선은 VMT를 적용한 결과를, 일점쇄선은 VM을 적용한 결과를 나타낸다.

Fig. 7.  
Time histories of midpoint vertical displacements with α = 6°, 12°, 20° at v = 1.0 m/s

Fig. 7은 곡선보의 중앙지점에서 수직응답을 이동하중의 속도(v)가 1.0 m/s일 때, 분할각(α)의 크기에 따라 그래프를 나타냈다. VMT와 VM을 적용한 유한요소모델의 응답은 분할각과는 상관없이 이론해와 유사하게 나타났다.

Fig. 8과 Fig. 9은 곡선보의 중앙지점에서 수직응답을 이동하중의 속도(v)가 각각 5.0 m/s, 10.0 m/s일 때, 분할각(α)의 크기에 따라 그래프를 나타냈다. VMT와 VM을 적용한 유한요소모델은 모두 이론적 해와 유사한 파형을 띄는 것으로 나타났다. 그러나 VMT와 VM을 적용한 유한요소모델의 응답은 분할각과는 상관없이 모두 이론적 해와 유사한 결과를 나타냈다.

Fig. 8.  
Time histories of midpoint vertical displacements with α = 6°, 12°, 20° at v = 5.0 m/s

Fig. 9.  
Time histories of midpoint vertical displacements with α = 6°, 12°, 20° at v = 10.0 m/s

Table 2는 곡선보에서 발생하는 최대 처짐의 크기와 첫 번째 모드의 고유주기 및 이론적 해석과 모델링의 오차율을 나타냈다. 1차 모드 고유주기의 경우 이동하중과 상관 없이 곡선보의 질량과 강성에 의해 결정된다. 분할각이 6°일 때, 이론해와 첫 번째 모드의 고유주기 오차(frequency error in the 1st mode)는 가장 작게 나타났으며 그 값은 약 0.041 %인 것으로 나타났다. 또한, 분할각이 12°, 20°인 경우 이론해와의 첫 번째 모드의 고유주기 오차는 각각 0.045 %, 0.059 %로 분할각이 커질수록 고유주기에 대한 오차율 역시 커지는 것을 확인하였다.

유한요소모델에서 곡선보의 중앙지점 최대 처짐은 VMT을 적용한 경우 분할각이 커질수록 값이 증가하는 것으로 나타났으며, VM을 적용한 경우 분할각이 커질수록 값이 감소하는 것으로 나타났다. 처짐 오차(displacement error)는 유한요소모델에서 나타난 최대 처짐과 이론해의 최대 처짐 간의 차이를 이론해의 최대처짐으로 나눈 값이다. 유한요소모델에 VMT을 적용할 경우 처짐 오차는 0.763 % 이내로 이론해와 유사한 값이 나타나는 것으로 확인되었다. 또한, VM을 적용하면 처짐 오차는 최대 2.086 %까지 나타났다.