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Wang et al.^[3]은 에너지법으로부터 유도된 이론적 좌굴계수 식^[5],[6]의 검증을 위해 서브패널의 폭-두께비(λ_f = w/t_f), 형상비, 그리고 보강재의 휨강성을 변수로 하여 보강재 3개까지에 대해 좌굴고유치해석을 수행하였다. 수치해석 결과를 바탕으로 에너지법으로부터 유도된 좌굴계수 식에 수정계수(c_f)를 도입하여 최종 좌굴계수 식(여기서, AASHTO LRFD 기준의 k와 구분하기 위하여 k_fc로 표기하기로 함)을 식 (4a) 및 식 (4b)로 제안하였다.

• β/β_cr ≤ 1.0일 때:

• β/β_cr > 1.0일 때:

여기서, β_cr은 좌굴계수 k_fc가 최소값을 보이는 한계 형상비로서 다음과 같다.

그리고, D = Et³_f/12(1 – v²): 판의 휨강성, v(= 0.3): 포아송 비, A_l: 보강재 1개의 단면적이며, γ와 δ는 각각 보강재 1개의 ‘휨강성비’와 ‘단면적비’이다.

본 기준^[1]의 6.11.8.2에서 비틀림 영향을 포함한 플랜지의 공칭압축강도 F_nc를 식 (9)로 제시하고 있다.

여기서, F_cb: 압축력만에 의한 플랜지 좌굴강도, f_v: St. Venant 비틀림에 의한 플랜지의 전단응력, F_cv: 전단에 대한 플랜지 좌굴강도, ϕ_v: 전단에 대한 저항계수이다.

본 기준에서 서브패널의 폭-두께비(λ_f)에 따라 F_cb를 다음과 같이 규정하고 있다.

• λ_f ≤ λ_p일 때:

• λ_p < λ_f ≤ λ_r일 때:

• λ_f > λ_r일 때:

여기서,

이고 R_b: 압축플랜지 응력감소계수, R_h: 하이브리드 계수, E: 강재의 탄성계수(= 210,000 MPa), F_yc: 압축플랜지의 항복강도, F_yr: 잔류응력 효과를 고려한 항복강도이다.

본 논문에서는 R_b = 1.0, R_h = 1.0이고 비틀림 영향이 없이 압축력만 작용하는 경우로 국한하기로 한다. 이 때 f_v = 0이므로 식 (12)의 ∆ = 1.0이 되고 식 (9)와 식 (10a)–식 (10c)에서 F_nc = F_cb가 된다.

보강판의 압축강도는 ABAQUS 프로그램^[7]을 사용하여 재료 및 기하비선형해석으로부터 평가하였다. Fig. 2는 경계조건과 하중을 포함한 전산모델의 개요도이다. 여기서, U는 이동변위, R은 회전변위이다. Line A에는 x-방향 이동변위(U_x)를 동일하게 적용하기 위해 ‘Coupling: kinematic’ 옵션을 적용하였다. 본 해석 모델은 4변 단순지지 조건에 해당하므로 종방향으로 인접패널에 의한 ‘연속효과(continuity effect)’를 고려하지 않아 안전측의 압축강도로 고려된다. 하중은 플랜지와 T-형 보강재에 각각 판두께에 해당하는 선하중을 재하하였는데, 이는 단위 압축응력(1 MPa)에 해당하는 셈이다.

Fig. 2. 
Boundary conditions and loadings

강재는 플랜지 및 보강재 모두 HSB460을 고려하였으며, 응력-변형률 선도는 Fig. 3와 같이 이상화하였다. 재료 및 기하비선형해석 시 하중 증가는 Rik’s method를 적용하였다. 항복기준은 Von Mises 기준을 적용하였고 변형률경화 구간에는 isotropic strain hardening 모델을 사용하였다. 플랜지 및 T-형 보강재 모두 S4R 쉘요소로 모델링하였다. 본 연구에서 고려한 보강판의 서브패널 폭(w)은 n = 1일 때 800 mm이고 n = 2,3일 때 600 mm이다. 전산 쉘요소 모델에서 플랜지 부의 개별 요소의 크기는 20 mm × 20 mm로 충분히 세분화하였으며, T-형 보강재도 비슷한 요소 크기로 분할하였다.

Fig. 3. 
Stress-strain curve for HSB460 steel

Chacón et al.^[8]은 용접 제작한 I-거더에 대해 다양한 잔류응력 모델로 휨강도 비교 평가를 수행하였는데, 이에 따르면 잔류응력 모델에 따른 종국강도의 차이는 크지 않다. 본 연구에서는 플랜지와 T-형 보강재 스템의 용접접합에 의한 잔류응력을 Fig. 4와 같이 고려하였다. 본 모델은 Chacón et al.이 비교 해석에 고려한 모델 중 Granath의 모델을 기반으로 한 것이다. 용접 잔류응력의 크기는 인장 잔류응력 (+)F_rt는 0.9F_y(= 414 MPa)으로 하였고 폭은 편측당 1.2t_f로 하였다. 이 때 압축 잔류응력 (–)F_rc의 크기는 자체 평형(self-equilibrium)으로부터 결정된다.

Fig. 4. 
Residual stress model

초기처짐은 보강재의 초기처짐과 보강판의 전체적인 초기처짐을 고려하였다. 보강재의 초기처짐은 Fig. 5(a)와 같이 중앙점을 기준으로 1/50 rad 회전된 것으로 고려하였다. 보강판의 전체적인 초기처짐은 Fig. 5(b)와 같이 e₀ 만큼 면외 초기처짐으로 고려하였으며, Eurocode 3^[9]에 기반하여 e₀ = min(a/400, b/400)으로 하였다. 보강재의 초기처짐은 전산모델 작성 시 직접 정의하였으며, 판의 전체적인 초기처짐은 좌굴고유치해석을 수행한 후 첫번째 좌굴모드를 e₀만큼 스케일하여 모사하였다.

Fig. 5. 
Initial imperfection model

본 연구에서는 종방향 보강재 개수(n)를 3개까지 고려하였다. 주요 변수로 보강판의 형상비(β), 서브패널의 폭-두께비(λ_f), 보강재의 휨강성비(γ)를 고려하였다. 판의 폭-두께비와 보강재의 휨강성을 조합함으로써 조밀, 비조밀 및 세장판(slender plate)의 범위를 포함하였다. 이로부터 결정한 해석 경우는 보강재 개수별로 Table 1에서 Table 3과 같다. T-형 보강재의 제원 표기는 T-형강의 표기 방식에 따른 것이며, 보강재의 플랜지 폭(B)은 스템 높이(H)의 1.5배 내외로 하였다. β_cr은 식 (5)로 정의된 한계 형상비이다.

Table 1–Table 3에서 k_FEA는 ABAQUS 프로그램의 고유치해석에 의한 좌굴계수이다. k_fc는 Wang et al.이 제안한 식 (4a) 및 식 (4b)로부터 산정한 것이며, λ_p와 λ_r은 식 (11a)와 식 (11b)에 k_fc를 적용하여 산정한 것이다. F_nc는 식 (9)에서 f_v = 0(또한 ∆ = 1.0)일 때 AASHTO LRFD 기준의 압축강도이며, F_u,FEA는 비선형해석에 의한 압축강도이다.

첫번째 좌굴모드가 one half sine-wave이고 이를 초기처짐으로 적용하였을 때 비선형해석으로부터 종국변형 형상 역시 one half wave 형태를 보였는데, 그 예를 Fig. 6(a)에 제시하였다. 한편, Table 1–Table 3에서 * 마크로 표시한 경우는 첫번째 좌굴모드가 two half wave를 보이는 최소 횡방향 보강재 간격(a)에 해당하는 것이다. 최소 a 값은 반복 해석으로부터 근사적으로 결정하였으며, 보강재 개수와 무관하게 β/β_cr ≒ 1.4이었다. 비선형해석에서 이를 초기처짐으로 적용하였을 때 종국변형 형상 또한 two half wave 형태를 보였으며, Fig. 6(b)에 n = 1일 때의 예를 제시하였다. 참고로, β/β_cr ≒ 1.4일 때 초기처짐의 크기는 a/400이 아닌 b/400이 적용된다.

Fig. 6. 
Deformed shape at maximum loading

보강재 개수별 F_u,FEA/F_yc 결과를 Fig. 7(a)에서 Fig. 7(c)에 도시하였다. Fig. 7에서 가로축 λf-는 정규화한 세장비로서 다음 식으로 정의하였다.

Fig. 7. 
F_u,FEA/F_yc vs. F_nc,AASHTO

식 (11b)에서 F_yr을 0.7F_yc로 설정하면

이 된다. R_b = 1.0, R_h = 1.0인 조건에서 AASHTO LRFD 기준에 의한 압축강도와 항복강도의 비(F_nc/F_yc)를 λf-에 대해 정리하면 식 (10a)–식 (10c)로부터 다음과 같다.

• 조밀판: λf- ≤ 1.0

• 비조밀판: 1.0 < λf- ≤ 1.992

• 세장판: λf- > 1.992

먼저, β/β_cr < 1.4일 때 1 ≤ n ≤ 3 경우 모두 종국 변형형상은 one half wave를 보였으며, Table 1–Table 3으로부터 F_u,FEA/F_nc 비의 최소값은 n = 2 및 n = 3의 일부 조밀판 또는 조밀에 가까운 비조밀판에서 0.99를 보인다. n이 증가할수록 F_u,FEA/F_nc 비가 조금 감소하는 경향을 보이는데, 추후 n ≥ 4에 대해 보완 검토가 필요하다고 판단된다. 단 이 값(0.99)은 인접 패널에 의한 ‘연속효과’를 고려하지 않은 것이므로 안전측의 압축강도임을 감안할 필요가 있다. 그 외의 경우는 모두 1.0 이상의 값을 보이며, 비조밀 및 세장판 영역에서는 판의 세장비가 증가할수록 안전측의 결과를 보인다. 따라서 β/β_cr < 1.4일 때 Wang et al.이 제안한 식 (4a)와 식 (4b)는 합리적인 크기의 보강재를 결정하는데 적용 가능하다고 판단된다.

한편, 1 ≤ n ≤ 3 경우 모두 β/β_cr ≒ 1.4에서 two half wave의 종국 변형형상을 보였다. F_u,FEA/F_nc 비는 비조밀판 영역에서 n = 1일 때 0.94–0.85, n = 2일 때 0.94–0.92, n = 3일 때 0.96–0.93의 범위를 보였으며, 세장판 영역에서는 n = 2일 때 0.95, n = 3일 때 1.19를 보였다. 따라서 β/β_cr ≥ 1.4일 때 설계기준의 압축강도에 미치지 못하는 결과를 보일 수 있고, 이러한 경향은 n이 작을수록 두드러진다. Table 1과 Table 2에서 β ≒ 1.4β_cr에 해당하는 횡방향 보강재 간격(a)은 판의 세장비에 따라 n = 1일 때 4,400 mm–4,500 mm, n = 2일 때 6,500 mm–7,300 mm이다. 이러한 간격은 실제 박스거더교에서 생길 수 있으므로 횡방향 보강재의 최대 간격에 대한 규정이 필요하다고 판단된다.

참고로 Table 1과 Table 2에 β/β_cr ≒ 1.4(* 마크 표시)인 경우들에 대해 식 (1a)와 식 (1b)의 AASHTO 기준에 의한 k 값을 괄호 내에 제시하였다. 이로부터 식 (4a) 및 식 (4b)의 k_fc가 AASHTO 기준의 k 값보다 같거나 작게 산출되었다. 따라서 AASHTO 기준의 k를 적용하는 것에 비해 k_fc의 적용으로 인해 압축강도를 크게 평가하지는 않았다. 이로부터, 보강판에서 횡방향 보강재의 최대 간격은 AASHTO LRFD 기준의 식 (1a) 및 식 (1b) 또는 Wang et al.의 식 (4a) 및 식 (4b)의 적용 시 β/β_cr < 1.4로 제한할 필요가 있다. 현재 AASHTO LRFD 기준에서는 식 (1a) 및 식 (1b)의 적용 시 횡방향 보강재의 최대 간격에 대한 언급은 없다.