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본 연구의 휨 해석을 진행할 모델은 두께 6.0 mm를 사용하여 Fig. 1과 같이 골 깊이 240 mm, 골 간격 500 mm인 슈퍼 대골형 파형강판(extra-deep corrugated steel plate, EXDEC)^[10]에서 적용 가능한 ASTM^[11] 설계기준에 따른 실험체 Fig. 2를 사용하였다.

Fig. 1. 
Cross-section and dimensions of EXDEC (Unit: mm)

Fig. 2. 
Specimen for the bolted connection (3 rows, with web bolt, Unit: mm)

전 세계적으로 가장 널리 사용되는 상용 유한요소구조해석 프로그램인 ABAQUS 2021^[12]를 이용하여 Fig. 3와 같이 4점재하 휨 구조해석 제원 및 경계조건(BC)을 구현했으며 구조물의 형상, 물성치, 경계조건 및 하중조건 모두 실험과 동일하게 하였다. 강판의 탄성계수는 210 GPa를 적용하였으며 항복강도는 두께별로 인장시험을 통해 구한 값(Table 1)을 사용하였다. 재료 모델은 재료가 항복한 후에는 일정한 항복고원을 가지는 bi-linear 모델을 적용하였다. 요소는 선형형상함수를 가지는 6면체 모양의 3차원 요소를 사용했으며, 강판의 두께 방향으로 2개의 요소층을 가지도록 하였다. 요소의 형상비는 1:4를 넘지 않도록 하였으며 수렴성 테스트를 통해 과다한 변형이 발생하는 볼트 구멍 주변에서 응력값이 수렴하는 것을 확인했다. 각 BC마다 자세한 모델링 방법을 아래에 설명하였다.

Fig. 3. 
Four-point loading test setup and dimensions (Unit: mm)

Fig. 4는 지지부(BC1, BC2)를 유한요소해석 프로그램으로 모사한 것이다. 강판하부 지지부 라인을 따라 BC1를 만든 후 높이 방향 변위를 고정시켜 지지부를 모사하였고, 파형모양의 지그장치로 인해 고정되는 BC2를 만들어 너비 방향 변위를 고정시켰다.

Fig. 4. 
Support realized by finite analysis software

Fig. 5는 가력부(BC3)를 유한요소해석 프로그램으로 모사한 것이다. 강판상부 가력부 라인 중심에 reference point​(RP)를 만들고 RP를 기점으로 가력부 라인을 coupling시켜 가력부 라인 전체가 coupling된 RP를 따라 거동하도록 하였다. BC3는 RP에 높이 방향 변위 –500 mm를 재하시켜 가력부를 모사하였다.

Fig. 5. 
Loading realized by finite analysis software

볼트 이음부는 휨 실험 진행 중 강판이 서로 접촉되기 때문에 강판의 마찰계수 0.4를 적용한 Contact 옵션을 사용하였다. Fig. 6와 같이 상부판 이음부 하부면과 하부판 이음부 상부면을 서로 contact하여 변형형상을 실험과 동일하게 나타내도록 하였다.

Fig. 6. 
Bolted joint contact realized by finite analysis software

휨 실험을 진행할 때 이음부 주변에서 좌굴이 발생한다. 유한요소해석 프로그램에서 정적해석을 진행할 수 있는 옵션은 General 해석, Riks 해석으로 진행할 수 있다.

General 해석은 모델에 존재하는 모든 비선형성의 영향을 포함할 수 있는 단계이다^[12]. 쉽게 말해 일반적인 구조해석을 진행할 때 General 옵션을 사용한다.

Riks 해석은 구조물의 불안정하고 기하학적 비선형 붕괴를 예측하는데 사용된다^[12]. Arc-length 기법이라고도 불리는 것으로, 하중을 자동으로 증감하면서 평형점을 찾아가는 기법이다. 따라서 하중값을 부여하여 구조물의 좌굴이 발생하거나 분기될 때 해석할 수 있는 방법이다. 이 해석방법은 좌굴 발생 시 구조물의 강성에 음의 값이 발생할 경우에도 해석이 가능하다는 장점이 있다. 그러나 구조모델이 복잡한 경우에 해석결과의 수렴성이 떨어지는 단점이 존재한다.

본 연구에서 진행하는 실험체는 하중재하가 아니라 변위재하이기 때문에 변위를 재하하는 위치에서의 반력을 구하여 General 해석으로도 좌굴이 발생한 구조물에서 음의 강성이 발생하는 하중-변위 그래프를 도출할 수 있었다. 이 방법을 증명하기 위해 두께 6.0 mm의 강체를 가지고 변위재하 방법으로 General 옵션과 Riks 옵션의 해석을 각각 진행하였다.

Fig. 7을 보면 하중-변위 그래프에서 General 해석방법과 Riks 해석방법이 동일한 극한강도를 구현하고 있으며 General 해석이 좌굴로 인해 생기는 하중감소 현상을 표현한다는 것이 확인되었다. 그러나 Riks 해석을 수행하는 경우 Contact 옵션이 추가된 모델에서는 수렴성에 문제가 있어 국부좌굴 발생 후 강성이 음의 값이 되는 것을 모사할 수 없다.

Fig. 7. 
General and Riks load-displacement graph

실험에 사용된 볼트 이음부의 볼트 구멍 크기는 M22, F13T의 고장력 볼트의 규격을 참고하여 ASTM^[11] 기준으로 Fig. 8과 같이 구현된다. 실험 파형강판의 볼트 구멍 모양은 타원형이지만 유한요소해석모델은 모델링의 편의성과 볼트 이음부 구속조건 설정에 있어 볼트 몸통부 크기만 고려하여 Fig. 9과 같이 지름 20 mm의 원형으로 하였다.

Fig. 8. 
Slotted hole according to ASTM standard (D28×45)

Fig. 9. 
Bolted joint realized by finite analysis software

유한요소해석 프로그램에서 제공하는 이음부의 구속조건 옵션들이 다양하기 때문에 실험과 유한요소해석 결괏값을 비교하여 볼트의 축력 및 체결력을 구현할 수 있는 구속조건을 찾는 방법으로 진행하였다. 두께 6.0 mm의 강판으로 타당성 검사를 실시하였고, 모델링한 강판에 구속 옵션들을 바꿔가며 실시하였다. 구속 옵션의 종류로는 이론상 볼트 연결과 적합하다고 생각한 Tie, Coupling, MPC_Beam, MPC_Pin, Connect_Axial을 서로 비교실험하였다.

모델링한 파형강판에 볼트 이음부 구속 옵션을 바꿔서 진행하는 방법으로 진행하였으며, 해석결과를 하중-변위 그래프로 나타내어 실험 그래프와 비교 분석하였다. 여러 가지 구속조건 중 볼트의 성질을 모사할 수 있는 구속조건을 찾는 방법으로 진행하였다.

3.2.1 Tie constraints

Tie는 맞닿은 두 surface의 node들을 하나로 고정하는 역할을 한다. 볼트의 체결력을 구현하기 위해 이 방법을 시도하였고 Fig. 10은 유한요소해석 프로그램을 이용하여 맞닿은 두 edge의 node들을 하나로 고정시킨 tie constraint이다.

Fig. 10. 
Tie constraint

3.2.2 Coupling

Coupling은 관성 모멘트 표현 식으로 하중 분포를 설명할 수 있는 모델에 하중을 분산하고 이러한 경우의 예로 볼트 및 용접 등을 표현할 수 있다^[12]. Fig. 11과 같이 볼트 중간 부분에 RP를 하나 만들어 RP를 기준으로 두 볼트 구멍의 가장자리를 연결하여 볼트 이음부를 모사하였다.

Fig. 11. 
Coupling

3.2.3 MPC_Beam

MPC(multi-point constraints)는 모델의 서로 다른 자유도 사이에 구속조건을 부과할 수 있다. 유한요소해석 프로그램은 서로 다른 구속조건을 연결하는 여러 가지 옵션을 제공한다. 그중 하나인 MPC_Beam은 두 node 사이에 강체 빔을 제공하여 첫 번째 node의 변위 및 회전을 두 번째 node의 변위 및 회전으로 제한하고 두 node 사이에 강체 빔이 존재하는 것과 같은 형상을 표현한다^[12].

Fig. 12는 유한요소해석 프로그램으로 구현한 MPC_​Beam 이음으로, 그림과 같이 각 볼트 구멍 가장자리를 하나의 RP로 연결한 후 두 RP를 MPC_Beam으로 이은 것이며 이러한 특성이 볼트와 비슷하다고 생각하여 해석을 진행하였다.

Fig. 12. 
MPC_Beam

3.2.4 MPC_Pin

MPC_Pin은 두 node 사이에 고정된 조인트를 제공하며 전체 변위를 동일하게 만들지만, 회전이 있는 경우 서로 독립적으로 유지한다^[12]. 파형강판 휨 실험 특성상 4점재하 방식이기 때문에 복부볼트에서 두 볼트 구멍 node에서 회전이 발생한다. 앞서 실험했던 Coupling과 MPC_​Beam은 두 node의 변위와 회전까지 제어했지만, MPC_​Pin은 각 회전 방향에 대한 거동을 독립적으로 유지하기 때문에 재하 과정에서의 기울기 차이를 줄일 수 있다고 생각하여 실험을 진행하였다. Fig. 13은 유한요소해석 프로그램으로 구현한 MPC_Pin 이음이며, MPC_Beam과 마찬가지로 각 볼트 구멍 가장자리를 하나의 RP로 연결한 후 두 RP를 MPC_Pin으로 이은 것이다.

Fig. 13. 
MPC_Pin

3.2.5 Connector

지금까지 선행내용에서 진행되었던 볼트 이음부 모델링 실험은 볼트 가장자리의 두 node들을 고정만 시켰다. 하지만 Connector는 두 connection의 물성치 값을 입력할 수 있어 볼트변형에 의한 슬라이드를 구현할 수 있고, 두 connection의 조임축력까지 구현 가능하여 두 판을 겹침 이음했을 때 발생하는 골 부분의 간격감소까지 구현할 수 있다.

Connection의 구성요소는 변환 connection, 회전 connection, 특수회전 connection 세 가지 범주로 나뉜다. 첫 번째 변환 connection 구성요소는 두 node의 변환 자유도에 영향을 미치고 첫 번째 node 또는 두 node의 회전 자유도에 영향을 줄 수 있다. 두 번째 회전 connection 구성요소는 두 node의 회전 자유도에만 영향을 준다. 세 번째 특수회전 connection 구성요소는 node의 회전 자유도 및 기타 자유도에도 영향을 미친다^[12]. 이 세 가지 중 정의를 참고하여 볼트를 연결한 것과 같은 결과를 낼 수 있다고 판단된 변환 connection을 사용하였다.

변환 Connection에도 여러 가지 구성요소가 존재한다. 그중 Axial 요소는 node를 연결하는 선을 따라 작용하는 두 node 사이의 연결을 제공하므로 볼트의 역할을 대신할 수 있다고 판단하여 Axial 요소로 실험을 진행하였다. 두 node 연결은 Fig. 14과 같이 MPC와 동일하게 볼트 구멍 가장자리를 하나의 RP로 연결한 후 두 RP를 connector로 이은 것이며 connector의 elastic은 200 GPa, 연결된 두 부분의 조임 축력은 실험에 M22, F13T의 고장력 볼트를 사용하였기 때문에 도로교 표준시방서^[13]를 참고하여 290 kN으로 하였다.

Fig. 14. 
Connector_Axial

이전에 실험했던 구속옵션과는 다르게 Connector는 볼트의 물성치, 조임축력을 입력할 수 있기 때문에 두 단계로 나눠서 해석이 진행된다. 첫 번째 단계는 볼트의 물성치와 조임축력을 해석하여 서로 겹침이음되어 생기는 골 부분 간격에 대해 간격감소를 구현한 후 두 번째 단계에서 휨 재하 해석을 진행한다. 첫 번째 단계에서 구현한 이음부 골 부분 간격감소결과를 Fig. 15에 나타냈다.

Fig. 15. 
Gap reduction due to tightening axial force

모든 구속조건의 해석을 완료하여 실험결과와 해석결과를 비교해 Fig. 16에 나타냈다. 모두 실험과 비슷한 극한하중은 도출하지만 재하과정에서 기울기 차이가 발생한다. 하지만 Connector는 실험과 비슷한 기울기를 도출하였고, 이음부 국부좌굴로 인한 음의 강성도 실험과 비슷하게 모사하고 있어 Connector가 볼트를 모사하는 옵션으로 적합하다고 판단하였다.

Fig. 16. 
Thickness 6.0 mm test and analysis load-displacement graph

Connector로 진행된 실험은 좌굴 형상 또한 실험과 비슷하게 나타난다. Fig. 17은 실험과 유한요소해석의 하부판 볼트 이음부 좌굴 형상을 비교한 사진이고, Fig. 18은 실험과 유한요소해석 상부판 볼트 이음부 좌굴 형상을 비교한 사진이다. 두 모델의 해석결과를 시각적으로 비교해 봤을 때 볼트 이음부 쪽 좌굴 형상이 매우 유사하게 보인다.

Fig. 17. 
Comparison of bottom plate buckling shape

Fig. 18. 
Comparison of top plate buckling shape

Fig. 19에는 유한요소해석 프로그램으로 해석한 두께 6.0 mm 강판 하중-변위 그래프를 나타냈다. 변위재하 시 그래프의 기울기가 부분적으로 증가하다 줄어드는 것을 볼 수 있다.

Fig. 19. 
Thickness 6.0 mm finite analysis software load-displacement graph

실험과 유한요소해석의 강성도를 비교하여 Fig. 20에 나타냈다. 강성그래프의 전체적인 경향성을 살펴보면 변위가 증가할수록 전체적인 하향곡선을 그리다 지간 중앙부의 변위가 80 mm - 200 mm 사이에서 일시적으로 강성이 증가하는 현상이 나타난다.

Fig. 20. 
Thickness 6.0 mm test and analysis stiffness-displacement graph

Fig. 21은 변위에 따른 하부판 볼트이음부 contact pressure 분포도이다. 똑같은 제원의 파형강판 두 판을 겹침 이음했을 때 골 부분에서 상부판과 하부판의 간격이 생기는데 이 상태로 4점재하 실험을 실시하면 지간 중앙부의 변위가 87 mm가 될 때 상부판 골이 하부판 골에 닿아 응력이 발생하는 것을 Fig. 21과 Fig. 22의 붉은 원을 통해 확인하였다. 이 때문에 지간 중앙부 변위의 저항이 생겨 강성이 일시적으로 증가하는 현상이 나타나는 것으로 보인다.

Fig. 21. 
Distribution of contact pressure at the bolted joint of the bottom plate

Fig. 22. 
Side contact pressure distribution of bolted joint