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AASHTO LRFD 기준^[6]에서 보강재의 단면2차모멘트(I_s)와 좌굴계수의 관계는 AASHTO Standard Specifications^[7]에 근거하였다. 횡방향 보강재(transverse stiffener)의 영향을 무시하고 보강재가 무한히 길다는 가정으로부터 AASHTO Standard Specifications에서 제시한 보강재의 단면2차모멘트와 좌굴계수의 관계는 다음 식 (1)과 같다.

여기서,

그리고, n: 보강재 개수, w: 서브패널의 폭, t_f: 압축판의 두께, I_s: 압축플랜지 면에 대한 보강재의 단면2차모멘트이다.

설계기준에서는 1.0 ≤ k ≤ 4.0 범위에서 k값을 설정하도록 규정하고 있으며, 설정된 k에 의해 식 (1) 및 식 (2)로부터 I_s가 결정된다. 따라서, 식 (1)과 식 (2)로부터 좌굴계수는 다음과 같이 구해진다.

그러나, n ≥ 3일 때 1.0 ≤ k ≤ 4.0이 되기 위해서는 단면2차모멘트(I_s)와 이에 해당하는 보강재의 제원이 비현실적으로 커져야 하는 문제가 있어 AASHTO LRFD 기준의 본문 규정에서는 식 (3b)의 적용을 n ≤ 2로 제한하고 있다.

n ≥ 3일 때 본문 규정의 문제점을 보완하고자 β ≤ 3 이내 간격으로 횡방향 보강재가 설치되고 종방향 보강재와 볼트 등으로 연결하는 경우 좌굴계수식을 해설부에서 다음 식 (4)로 제시하고 있다.

여기서, β(= a/b): 압축판의 형상비이다.

단, 식 (4)의 적용은 n ≤ 5로 제한되며, 보강재의 제원은 식 (1)에서 ψ = 8.0일 때, 즉 Is=8.0wtf3이 획일적으로 적용된다. 한편 식 (4)는 서브패널의 형상비 α(= a/w)가 4보다 작거나 같을 때 k값은 약 4.0이 된다고 기술하고 있다.

보강 압축판의 좌굴계수 평가를 위한 고유치해석은 ABAQUS 프로그램^[10]으로 수행하였다. 요소는 S4R 요소를 사용하였으며, 요소의 크기는 20 mm × 20 mm로 하였고 T형 보강재도 비슷한 크기로 분할하였다. Fig. 3에 경계조건의 예를 보였으며, 여기서 U는 이동변위, R은 회전변위이다. Line A에는 x방향 이동변위(U_x)를 동일하게 적용하기 위해 ‘Coupling: kinematic’ 옵션을 적용하였다. 본 모델은 4변 모두 단순지지 조건에 해당하여 인접 패널에 의한 구속 효과를 고려하지 않으므로 안전측의 좌굴강도를 제공한다. 한편 하중은 Fig. 3에 보인 바와 같이 압축플랜지와 보강재에 단위 압축응력(1 MPa)을 재하하였다.

Fig. 3. 
Boundary conditions and loadings

보강재 개수(n)는 3개까지 고려하였다. 변수는 보강 압축판의 형상비(β), 서브패널의 폭-두께비(λ_f = w/t_f), 보강재의 휨강성비(γ)를 고려하였다. 보강 압축판의 형상비는 β = 3까지 고려하였다. 서브패널의 폭(w)은 600 mm로 하였으며, 폭-두께비(λ_f)는 실제 교량에서 최소 및 최대 한계 범위로 판단되는 20(t_f = 30 mm)과 40(t_f = 15 mm)을 고려하였다. 보강재 개수별 판의 두께와 형상비에 따른 해석 제원을 Table 1에서 Table 3에 제시하였다. T-단면의 제원 표기는 표준 방식에 따른 것이며, 보강재의 플랜지 폭(B)은 스템 높이(H)의 1.4~1.5배로 고려하였다.

Fig. 4에 전산해석에 의한 좌굴모드 형상을 예시하였다. Tables 1-3에서 k_FEA는 전산해석에서 구한 좌굴계수이다. 한편 t_f = 30 mm 열에서 * 표식은 식 (4)의 AASHTO LRFD 기준의 해설부 규정 적용 시 Is=8.0wtf3에 해당하는 보강재를 의미한다. 이들 표의 k_AASHTO 열에서 * 표식이 없는 보강재는 AASHTO LRFD 기준^[6]의 본문 규정인 식 (3)에 의한 좌굴계수이고, * 표식이 있는 보강재는 식 (4)로부터 산정한 것이다. 한편, k_f는 β/β_cr ≤ 1.0일 때 식 (11), β/β_cr > 1.0일 때 식 (13)으로 계산한 좌굴계수이다.

Fig. 4. 
Examples of buckling modes (t_f = 30 mm, a = 2,400 mm, T-175×260×15×15)

Tables 1-3에서 t_f = 30 mm일 때 서브패널의 형상비(α)에 따른 k_FEA/k_Eq.(3)의 비를 Fig. 5에 예시하였다. 이로부터 α가 감소할수록 AASHTO LRFD 본문 기준의 식 (3)은 좌굴계수를 보수적으로 평가함을 보여준다. 또한 α = 4.0일 때 n = 1은 약 1.06배, n = 2는 1.64배, n = 3은 2.7배 보수적으로 평가한다. 따라서 식 (3)은 보강재 개수가 증가할수록 좌굴계수를 보수적으로 평가하며, 이로 인해 현재 AASHTO LRFD 본문 기준은 n ≤ 2로 제한하고 있다.

Fig. 5. 
α(subpanel aspect ratio) vs. k_FEA/k_Eq.(3)

Tables 1-3에서 t_f = 30 mm일 때 AASHTO LRFD 해설부 규정의 식 (4)에 따라 결정된 보강재 단면(T-175×260×15×​15) 적용 시 α = 4.0에서 k_FEA가 각각 3.96, 3.49, 3.30으로 얻어졌다. 표들로부터 α가 4.0보다 작을수록 동등한 수준의 좌굴계수에 상응하는 보강재 제원이 감소될 수 있음을 알 수 있으나, 식 (4)의 적용 시 보강재의 단면2차모멘트를 Is=8.0wtf3으로 고정함에 따라 이러한 여지가 허용되지 않는다. 더욱이 식 (4)는 형상비를 감안하여 희망하는 k값에 해당하는 보강재 제원을 적용하는 것이 불가한 한계가 있다.

β/β_cr ≤ 1.0일 때 전산해석에 의한 k_FEA 대비 식 (11)의 k_f와의 비와 β/β_cr > 1.0일 때에는 식 (13)에 의한 k_f,min과의 비를 Fig. 6에 제시하였다. 이로부터 β/β_cr > 1.0일 때 판의 세장비에 관계없이 k_FEA/k_f,min이 1.0에 가까운 값을 보인다. 반면, β/β_cr ≤ 1.0 범위에서는 β/β_cr이 감소할수록 k_FEA/k_f가 대다수의 경우 1.0보다 작은 값을 보이며, 이러한 경향은 판의 폭-두께비가 작을 때 두드러진다.

Fig. 6. 
k_FEA/k_f vs. β/β_cr

원인 분석을 위해 Table 4에 n = 3, t_f = 30 mm(λ_f = 20)일 때 보강재 제원과 형상비에 따른 k_FEA/k_f를 비교하였다. 먼저 β = 0.5일 때 T-90×130×8×8 보강재를 적용한 경우 k_FEA/k_f = 0.98이고 T-115×170×10×10 보강재를 적용한 경우 k_FEA/k_f = 0.76으로 보강재의 강성이 증가함에 따라 오차가 증가한다. 한편, T-115×170×10×10 보강재를 적용한 경우 β = 0.5일 때 k_FEA/k_f = 0.76, β = 1.0일 때 k_FEA/k_f = 1.05로서 형상비가 감소함에 따라 오차가 증가한다. 결국 두 경우 모두 β/β_cr이 감소함에 따라 식 (11)의 k_f 식은 오차가 증가한다.

이러한 원인은 식 (6)이 판의 변형 형상을 x축 및 y축 방향으로 half-sine wave 형태로 가정하여, 즉 식 (5)에서 첫 번째 항(m = 1, n = 1)만 고려하여 유도된 근사식이기 때문이다. 실제로는 보강재의 지지 효과로 인해 판의 면외 좌굴 형상은, 특히 y축 방향으로 half-sine wave와는 차이를 보이게 된다. 변형 정도의 차이는 Fig. 7에 보인 바와 같이 β가 고정된 경우 보강재의 강성이 클수록, 그리고 동일 제원의 보강재가 적용된 경우 형상비(β)가 감소할수록 증가한다. 따라서 β/β_cr이 감소할수록 식 (11)의 오차가 증가하는 결과를 보이며, 판의 폭-두께비가 작을수록 그 정도가 증가하는 것으로 나타났다.

Fig. 7. 
Example of deformed shape

Fig. 6는 β/β_cr ≤ 1.0일 때, 특히 판의 폭-두께비(λ_f)가 작을 때 식 (11)의 보정이 필요함을 보여준다. 보정계수의 도출은 λ_f = 20.0을 기준으로 하였다. 그 이유는 실무적으로 교량구조에서 보강 압축판의 최소 폭-두께비로 판단되기 때문이며, λ_f가 이보다 큰 경우에는 아래에 제시할 보정계수의 적용 시 안전측의 좌굴계수를 제공할 것이기 때문이다. 보정계수의 유도는 β/β_cr과 보강재 개수(n)를 변수로 하여 λ_f = 20.0일 때 k_FEA/k_f의 하한치를 포괄하는 곡선접합으로부터 도출하였다. 이로부터 β/β_cr ≤ 1.0일 때 보정계수(c_f)를 다음과 같이 제시한다.

• • β/β_cr ≤ 1.0일 때:

여기서, cf=ββcr1n+1

• • β/β_cr > 1.0일 때:

보강재 개수별 보정계수(c_f)를 Fig. 6(a) - Fig. 6(c)에 도시하였고 Tables 1-3에 식 (14)에 의한 k_fc를 제시하였다. 이로부터 대부분의 경우 k_FEA/k_fc ≥ 1.0으로 안전측의 좌굴계수를 예측하므로 실무에 적용 가능할 것으로 판단된다.