Best Practice

최근에는 대형 건축구조물이나 플랜트와 같은 초대형 해양구조물에는 트러스형태의 구조물이 많이 사용되고 있다. 일반적으로 트러스 구조물은 강재를 사용하기 때문에 설계 및 시공 측면에서 매우 유리하다. 대형구조물에서는 경제적인 면을 고려하여 비용을 줄일 수 있는 최적설계가 적용되어야 한다. 본 연구에서는 여러 제약조건하에서 트러스 구조물의 단면 및 형상 최적설계에 대해 연구 하였으며, 최적설계에는 응력제약, 좌굴응력제약, 고유진동수제약조건등이 적용되었다. 구조물최적설계는 연속변수에 의한 설계와 이산변수에 의한 설계로 나눌 수 있으나, 여기서는 연속변수 만을 사용하여 최적설계 하였다. 트러스 구조물의 응력 및 압축부재에 대한 좌굴응력제약을 사용한 연구는 Hansen and Vanderplaats^[1], Salajegheh and Vanderplaats^[2], Hasancebi and Erbatur^[3], Ali et al.^[4], Ahrari and Atai^[5], Lee et al.^[6]등 많은 학자들에 의해 연구되었다.그리고 구조물의 고유진동수 제약조건을 사용하여 단면 및 형상 최적설계에 대한 연구는 이승혜와 이재홍^[7], 김형민과 이재홍^[8], 도기영과 윤성원^[9], 김봉익^[10], Lingyun et al.^[11], Sadek^[12], Sedaghati et al.^[13], Tong and Liu^[14], Pantelides and Tzan^[15], Kaveh^[16], Wang^[17]등에 의해 연구되었다. Hansen and Vanderplaats는 1차 테일러근사해법으로, Salajegheh and Vanderplaats는 Branch and bound방법으로 트러스의 응력 및 좌굴 제약조건하에 단면 최적화를 연구하였다. Hasancebi and Erbatur는 Boltzmann 파라메타와 시뮬레이티드 에널링을 사용하여 트러스구조물의 단면을 최적화 하였다. Ali et al.는 유전자 알고리즘을 사용하여 평면 및 입체트러스의 단면 및 형상 최적화를 연구하였다. Ahrari and Atai는 Fully stressed design evolution strategy방법으로 트러스의 형상 및 단면 최적화를 수행 하였다. Lee et al.는 하모니 서치 알고리즘으로 트러스의 단면을 이산 최적화하였다. 김봉익은 하모니서치 알고리즘과 고유진동수 제약조건으로 트러스구조물의 단면 및 형상 최적화를 연구하였다. Lingyun et al.은 여러 가지 동적제약조건을 고려한 트러스의 형상 및 단면의 설계에 Niche hybrid유전자 알고리즘(NHGA)을 사용하여 최적화 하였다. Tong and Liu는 동적 및 응력, 변위제약조건을 고려한 트러스구조물의 설계에 이산자료를 사용한 이산최적설계에 대해 연구하였다. Sedaghati et al.는 진동수제약조건을 고려한 트러스와 프레임 구조물에 Finite element force method방법을 사용하여 최적설계 하였다.

일반적으로 최적화에 연속변수를 사용하는 경우 변수의 수가 적으면 라그랑즈 승수법이나 Optimality criteria와 같은 최적화 기법을 사용하여 최적설계를 할 수 있다. 이 경우 각 변수에 Gradient를 적용시켜 최적 해를 구한다. 만약 설계변수의 수 및 제약조건식이 증가하면 라그랑즈 승수법이나 Optimality criteria의 사용에는 많은 제약과 어려움이 있다.

본 연구에서는 설계변수 및 제약조건의 수가 많은 관계로 라그랑즈 승수법이나 Optimality criteria방법 보다는 설계함수에 Gradient가 적용되지 않고 확률론적 최적화 방법인 HA, GA, SA 및 HA-SA를 사용하여 최적설계를 시도하였다. 구조물 최적설계에는 연속설계변수를 사용하여 트러스의 단면 및 형상 최적설계를 시도하였으며, 최적화 기법으로는 HA-SA방법을 사용하였다. 최적설계 예제에는 동적제약조건 및 부재응력과 압축부재에 대한 좌굴응력 제약조건이 적용되었다. 최적설계에 사용된 예제는 10-bar, 52-bar, 72-bar트러스의 경우 고유진동수 제약으로 단면 및 형상을 최적화 하였다. 18- bar, 47-bar 트러스의 경우는 부재응력과 좌굴응력 제약조건으로 단면 및 형상 최적화를 시도 하였다. HA-SA방법은 본 연구에서 새롭게 제시하는 방법이며, 하모니 서치의 하모니 메모리내의 가장 나은 설계를 시뮬레이티드 에널링의 초기 설계 값으로 최적설계를 찾는 방법 이다. 그리고 HA-SA방법의 결과와 유전자 알고리즘 및 여러 연구 결과를 서로 비교하였다.

구조물 최적화에는 여러 종류의 설계조건들이 있으나 주로 비용이 최소가 되게 하든지 아니면 총무게가 최소가 되게 설계하고 있다. 본 연구에서는 구조물의 총 무게가 최소가 되게 최적설계 하였다. 최적설계경우 목적함수( 및 제약조건식은 다음과 같다.

Minimize (1)

subject to

(2)

(m natural frequency constraints)

(3)

(n cross-sectional constraints)

   (4)

(n stress constraints)

  (5)

(n buckling stress constraints for compressive members)

여기서,  번째 부재에 대한 밀도, 단면적 및 길이

       번째 고유진동수 및 주어진 특정 고유진동수

       번째 부재의 단면적 및 최저 한계 값

       번째 부재의 응력 및 최저 한계 값

       번째 부재의 응력 및 좌굴응력 값

3.1 하모니 서치

하모니 서치(Harmony search; HS) 알고리즘은 확률론적인 이론을 바탕으로 최적화 문제를 해결하는 최적화기법이다^[6]. 하모니 알고리즘은 음악가가 보다 좋은 음악의 구성요소를 만들기 위한 과정을 수리 모델화시켜 문제를 해결하는 방법이다^[16]. HS알고리즘은 십진수를 사용하여 확률론적으로 해를 구하는 방법인데 이는 유전자 알고리즘에서 이진수를 사용하여 해를 구하는 방법과 매우 유사하다. 결국 HS알고리즘과 유전자 알고리즘은 랜덤 과정을 통해 확률론적으로 해에 접근하는 방법은 유사하다. HS알고리즘은 5단계의 과정으로 구성되며 아래와 같다.

Step 1. 초기 값 설정

최적화문제의 해를 구하기 위한 초기 값의 설정과정이다. 설계변수의 크기 및 변수의 최소값 및 최대값 설정, 하모니 메모리 크기(Harmony memory size; HMS)설정, 하모니 메모리 채택 비(Harmony memory considering ratio; HMCR)설정, 피치 조정비(Pitch adjusting ratio; PAR)설정, 전 과정의 반복횟수 설정을 초기화 한다.

Step 2. 하모니 메모리(Harmony memory; HM) 초기화

하모니 메모리의 초기화 단계. 초기 값 설정단계에서 설계변수의 수와 HMS의 값에 의해 랜덤 과정을 거쳐 HM을 초기화 시킨다(식 (6)).

HM =       (6)

여기서 은 HM에서 설계집단의 크기이다.

Step 3. 새로운 하모니 메모리 구성

새로운 하모니 메모리의 구성단계. 새로운 HM은 확률 의 값에 따라 HM에서 설계들이 새로운 HM에 선택되는 기준의 판단 여부를 결정하는 과정이다. 새로운 HM을 구성하기위한 설계는 아래 식의 조건으로 만들어진다.

(7)

(8)

이 과정은 확률 보다 적을 경우 설계를 다시 수정하여 새로운 HM을 구성한다(식 (8)).

Step 4. 하모니 메모리 업데이트

새로운 HM이 구성된 후 각각의 설계변수에 해당되는 설계 값을 구하여 HM을 업데이트 하는 과정이다. 이 과정에서 설계 값을 서로 비교하여 가장 나쁜 값은 HM에서 제외하고 새로운 설계로 업데이트되는 과정이다. 그리고 HM에 가장 우수한 값부터 차례로 설계 값을 나열한다.

Step 5. Step 3과 Step 4의 반복과정

Step 3과 Step 4가 주어진 반복수만큼 반복 작업을 통해 해를 구하는 단계이다.

3.2 시뮬레이티드 어넬링

시뮬레이티드 어넬링(Simulated Annealing; SA)은 주어진 온도 하에서 평형상태에 있는 입자의 운동에 대한 연구에 사용되었으며, Metropolis et al.(1953)^[18]에 의해 제안되었고, Kickpatrick et al.(1983)^[19]에 의해 공학에 적용되었다. SA는 전 설계 공간이 아닌 현 설계 근처의 설계공간에서 무작위한 교란 작업을 통해 얻어진 설계와 현 설계를 비교하여 이 두 설계 중 현 설계가 수용될 수 있는지를 판정하여 해를 찾아가는 방법이며, GA에서와 같이 함수의 결과 값만이 요구된다. SA는 교란 후 얻어진 설계가 현 설계보다 개선된 설계가 되면 새로운 설계로서 수용이 된다. 반면 교란 후 얻어진 설계가 제약조건을 만족하지 않으면 자동으로 제거 된다. 그러나 교란 후 얻어진 설계가 제약조건을 만족하면서 현 설계와 비교하여 목적함수의 값이 큰 값의 설계라면 교란 후 얻어진 설계는 랜덤 수와 수용확률( )은 Metropolis의 알고리즘을 사용하였으며 아래와 같다.

 (9)

여기서, D : 현 설계와 교란 후 얻어진 설계의 목적함수 차이

      C : 정규화 상수(2.0)

      T : 주어진 온도

3.3. 유전자 알고리즘

유전자 알고리즘(Genetic Algorithms; GA)은 생물진화 과정을 수리 모델화시켜 문제를 해결하는 방법이다^[20]. 유전자 알고리즘은 함수의 미분가능성이나 함수의 convexity를 요구하지 않고 단지 함수의 값만 요구되므로 최적화문제의 해결에는 매우 적합한 설계방법이라 할 수 있다. 또한 유전자 알고리즘은 일반적인 최적화 방법에서처럼 초기 설계 값을 사용하지 않고 설계집단을 사용하므로 전 공간 설계를 찾을 수 있는 이점이 있다. 유전자 알고리즘은 번식, 교차, 돌연 변이 등의 과정을 거쳐 새로운 세대를 이루게 되며, 이러한 세대가 반복되면서 우수한 설계들로 구성되는 설계집단 중 가장 우수했던 설계가 최적의 해(설계)가 되는 것이다.

3.3.1 번식

번식은 현 세대의 설계집단에서 다음세대의 설계집단으로 우수한 설계를 전달하기 위한 정보를 각 개체에 제공하는 과정이다. 번식과정에서 초기 설계집단은 모두 랜덤과정을 통해 집단이 구성된다. 번식은 적합성이 좋은 개체는 선택될 기회가 많이 주어지고 반면에 적합성이 나쁜 개체는 선택될 기회가 적게 주어지도록 각 개체에 확률을 부여하고, 각각의 개체에 부여된 확률에 따라 각 개체들이 새로운 집단에서 새로운 개체들로 선택되는 과정을 말한다.

3.3.2 교차

교차는 번식의 과정 후 비교적 적합성이 우수한 개체들로 구성된 집단에서 인자를 서로 교환함으로써 이전 세대보다 나은 방향으로의 개체를 재구성하는 과정이다. 교차는 한 쌍의 2진 문자열 사이에서 이루어지며 각각의 2진 문자열들은 번식 후 구성된 현 집단에서 무작위로 선택된다. 교차는 모든 개체에 대해 전부 이루어지는 것이 아니라 교차확률( )에 따라 선택적으로 이루어진다.

3.3.3 돌연변이

돌연변이는 번식과정 중 열성 개체만으로 이루어지는 것을 방지하기 위해 개체들 사이에 새로운 변화를 주는 매우 중요한 과정이다. 유전자 알고리즘에서도 돌연변이과정을 통해 또 다른 국지최적설계를 찾을 수 있다. 즉 돌연변이과정은 선택 된 하나의 국지 최적설계에 머물지 않고 또 다른 국지 최적설계로 이동 할 수 있게 하는 과정이다.

3.4 HA-SA 알고리즘

HA-SA알고리즘은 HA의 전 설계공간에서 최적 해를 찾는 방법과 SA의 부분설계공간에서 최적 해를 찾는 방법을 혼합하여 새로운 해를 찾는 방법이다. HA-SA알고리즘은 GA에서 사용되는 준 연속(pseudo-continuous)변수와는 달리 모두 십진법과 랜덤수를 사용한 연속변수를 사용한다. GA에서는 2ⁿ의 유한개의 이진수를 사용하기 때문에 준 연속변수가 사용된다. HA방법은 전설계 공간에서 최적의 해를 찾는 능력이 여러 다른 최적화 기법보다 우수하다. 그러나 HA는 최적해의 수렴 속도가 느리고 또한 최적 해를 얻기 위해 많은 계산에 요구된다. 반면 SA는 한정된 설계공간에서 최적 해를 찾는 능력이 탁월하다. HA-SA알고리즘는 HA의 전 공간 탐색기능과 SA의 부분 공간 탐색기능들의 장점을 바탕으로 새로운 최적 해를 찾는 방법이며, 적은 Iteration으로 최적해를 찾는 방법이다. HA-SA알고리즘은 HA의 초기메모리 구성과정에서 제약조건이 만족되는 설계들로 구성한 후 초기 메모리에서 최소값에 해당되는 설계를 SA의 초기 설계 값으로 대신 해서 전체설계집단에서 최적 해를 찾는 방법이다. HA-SA의 전 최적화 과정은 Fig. 1과 같다.

본 연구에서는 HA-SA의 유용성을 검정하기 위해 다른 최적화 기법인 유전자 알고리즘과 하모니서치 알고리즘 및 시뮬레이티드 어넬링에 의한 결과를 서로 비교하였다.

4.1 10-Bar 트러스 구조물^[21]

10-bar 트러스의 제원은 아래 Fig. 2와 같으며, 재료의 탄성계수 20.0Hz가 적용되었으며, 총무게가 최소가 되게 최적 설계하였다.

Table 1은 본 연구에서 제시된 HS-SA에 의한 최적 설계결과이다. Table 2는 고유 진동수에 대한 최적 설계결과이며, 제약조건( )을 모두 만족하였다. Table 1의 결과로부터 여러 연구결과를 비교하여 본 연구에서 제시된 HS-SA를 사용한 경우가 가장 우수한 설계결과를 얻을 수 있었으며, GA, SA, HA에 의한 결과보다는 개선된 결과를 얻었다. Fig. 3은 해의 수렴 상태이며, HA-SA의 경우 적은 Iteration수에서 매우 만족한 결과를 얻을 수 있었다. Fig. 4는 HA-SA에서 20개의 초기 설계 값에 대해 해의 수렴상태를 나타낸다. 설계 공간 내에서 여러 개의 다른 초기 설계 값에도 일정한 설계 값으로 수렴함을 알 수 있어 HA-SA의 수렴성과 사용성을 입증 할 수 있다.

4.2 72-Bar 트러스 구조물

72-bar 트러스의 제원은 아래 Fig. 5와 같으며, 재료의 탄성계수 6.0Hz가 적용되었다. Table 3은 HS-SA알고리즘에 의한 최적 설계결과이며, Table 4는 고유 진동수에 대한 설계결과이다. Table 3에서 HA-SA에 의한 설계결과는 Sedaghati보다 1.12% 개선된 설계결과를 얻었으며, 이 경우 Iteration 수 40에서 최적 설계값을 얻었다. Fig. 6은 해의 수렴 상태이다.

4.3 18-Bar 트러스 구조물

18-bar 트러스의 제원은 아래 Fig. 7과 같으며, 재료의 탄성계수 )은 식 (10)과 같다.

 (10)

여기서,   : 4.0 (좌굴계수)

        : 재료 탄성계수

       부재 단면적

       부재 길이

Table 5는 HS-SA알고리즘에 의한 최적 설계결과이다. 이 경우 다른 연구자들의 연구 결과와 유사한 결과를 얻었다. 그러나 Hansen과 Salajegheh의 경우 일부 부재에서 좌굴응력제약조건을 만족하지 못하는 것을 확인하였다. 반면 본 연구에서는 응력 및 좌굴에 대한 제약조건을 모두 만족하였으며, Table 6은 압축부재의 좌굴응력에 대한 설계결과이다. Fig. 8은 HA-SA에 대한 최적설계 형상이다.

4.4 47-Bar(송전탑) 트러스 구조물

47-bar 트러스의 제원은 아래 Fig. 9와 같으며, 재료의 탄성계수 )는 3.96을 사용하였다. Table 7은 단면의 최적화 결과이며, Table 8은 좌표변수에 대한 최적설계결과이다. GA, SA, HA보다는 월등히 좋은 결과를 얻었으며, Salajegheh보다는 46.63%의 개선된 설계결과를 얻었다. 그리고 설계제약조건인 응력과 좌굴응력에 대한 조건을 모두 만족하였으며, HA-SA의 방법이 가장 우수하였다. Fig. 10은 해의 수렴상태이며, Fig. 11은 최적설계형상이다.

4.5 52-Bar(Dome) 트러스 구조물

52-bar 트러스의 제원은 아래 Fig. 12와 같으며, Fig. 13은 옆(side view)의 형상이다. 재료의 탄성계수 28.648이 적용되었다. Table 9는 HS-SA알고리즘에 의한 최적설계결과이며, Gomes의 결과 보다는 17.88% 개선된 결과를 얻었다. Table 10은 고유 진동수에 대한 설계결과이며, 동적제약 조건을 모두 만족하였다. Fig. 14는 해의 수렴상태이며, Fig. 15는 HS-SA알고리즘을 사용하여 최적화된 결과의 형상이다.

대형 구조물이나 플랜트와 같은 초대형 해양구조물에는 많은 부분에서 트러스형태의 구조물이 많이 사용되고 있다. 그리고 트러스 구조물은 설계 및 시공 측면에서 매우 유리한 점이 있으며, 대형구조물에서는 경제적인 면을 고려하여 비용을 줄일 수 있는 최적설계가 적용되어야 한다.

본 연구에서는 HA의 전 공간 탐색기능과 SA의 부분 공 간 탐색기능들을 사용한 HA-SA방법을 사용하여 응력제약, 좌굴응력제약, 고유진동수제약조건등 여러 제약조건이 적용된 트러스 구조물의 단면 및 형상 최적설계에 대해 연구 하였다10-Bar 트러스의 경우 Table 1로부터 Sedaghati보다는 11.2% 개선된 설계 값을 얻었다. 그리고 Fig. 3으로부터 최적화 과정 중 1500 Iteration에 의한 GA에 대한 설계 값에 비하면 HA-SA방법은 50 Iteration으로 매우 개선된 값을 구할 수 있었다. 72-bar 트러스의 경우 Table 3에서 HS-SA알고리즘에 의한 최적 설계결과가 Sedaghati보다는 1.12% 개선된 결과를 얻었다. 이 경우 Iteration수 40에서 최적 설계 값을 찾았으며, HA-SA방법이 GA, SA, HA에 의한 설계보다 아주 적은 Iteration수로 최적설계를 찾는 능력이 있음을 보여준다. 18-bar 트러스의 경우 다른 연구자들의 연구 결과와 유사한 결과를 얻었다. 그러나 Hansen과 Salajegheh의 경우 일부 부재에서 좌굴응력제약조건을 만족하지 못하는 것을 확인하였다. 52-bar 트러스의 경우 Gomes의 결과 보다는 17.88% 개선된 결과를 얻었다. 이 모두의 경우 고유진동수 제약조건을 모두 만족하였다. 47-bar 트러스의 경우 적은 Iteration수로 HA-SA에 의한 결과는 Salajegheh보다는 46.63%의 개선된 설계결과로 매우 만족할 만한 결과가 됨을 확인하였다.

지금까지의 예제를 통하여 트러스 구조물의 최적설계에 다양한 제약조건들을 사용한 최적화 통해서 여러 연구자들에 의한 결과와 비교하여 본 연구에서 제시된 HA-SA방법이 HA, SA, GA등과 같은 다른 최적화 방법보다 비교적 안정적이면서 전반적으로 30-50 Iteration의 적은 계산실행과정을 통해 최적설계를 찾을 수 있었다. 결론적으로 HA-SA 알고리즘은 확률론적인 최적화 방법인 HA와 SA의 장점들을 조합으로 구성된 최적화 기법이며, 함수의 연속성 및 미분 값을 요구하지 않으며, 설계변수의 수 및 여러 제약 조건 등에 많은 제약을 받지 않는 과정임을 고려하면 트러스 구조물의 설계 최적화문제에 매우 적합한 방법이라 하겠다. 본 연구에서 제시된 HA-SA 알고리즘은 비교적 최적해로 접근하는 안정성이 좋아 다른 여러 공학 분야에 적용성이 높다 하겠다.