Best Practice

강 뼈대 구조물의 엄밀한 안정성 설계를 위해서는 재료적 비선형과 기하학적 비선형 거동을 모두 고려하여 전체 구조계에 대한 극한 시스템 내하력을 파악하여야 한다. 그러나 구조물의 기하학적 및 재료적 비선형성을 모두 엄밀히 고려하는 것은 이론과 실 재료 간의 부합성, 비용 및 시간에 있어서 큰 어려움이 존재한다. 따라서 이러한 비선형 해석 기법의 대안으로 국내 및 해외의 설계기준은 시스템 안정성 검토를 생략하는 대신에 개별부재의 유효좌굴 길이를 산정하여 압축부재의 내하력을 결정하고, 부재안정성 식을 검토하는 설계방법을 사용하고 있다. 여기서, 유효좌굴길이는 구조계 전체가 소성 및 좌굴거동에 의한 붕괴 시 개별부재 내에 또는 부재 축을 가상으로 연장하여 휨모멘트가 영이 되는 유효한 부재 길이를 나타낸 것으로 구조 시스템이 개별 부재에 미치는 영향을 정량적으로 나타낼 수 있다. 미국의 경우, AISC-LRFD^[1] 설계기준에서는 한정된 조건을 갖는 뼈대구조물의 보-기둥에 대한 유효좌굴계수를 산정하기 위하여 Alignment chart의 사용을 추천하고 있으며, 일본은 재료적 비선형성을 고려하기 위한 방법으로 혼슈시코쿠연락공단의 현수교 주탑설계요령을 통해 탄소성을 고려한 시스템 좌굴강도를 근사적으로 산정할 수 있는 극한내하력 곡선을 이용하고 있다. 그 밖에도 뼈대구조의 유효좌굴길이를 산정하기 위한 다양한 연구가 현재까지 진행되어 왔으며 이를 요약하면 다음과 같다.

Yura^[2]는 브레이싱이 없는 라멘구조의 유효좌굴길이를 유도하였고 LeMessurier^[3]는 양단 강절프레임의 2차 해석을 통해 실용적인 유효좌굴길이 계산방법를 제안하였다. Cheng^[4]은 브레이싱에 의해 지지된 강뼈대구조의 K-factor를 제시하였고 Galambos^[5]와 Salmon and Johnson^[6]은 각각 강구조의 좌굴거동에 대한 연구를 통해 설계규준을 제안하였으며 Aristizabal-Ochoa^[7]는 다양한 종류의 단면력과 경계조건을 갖는 보-기둥의 좌굴거동을 조사하였다. 그러나 현재까지 수행된 차트법을 이용한 평면뼈대구조의 유효좌굴길이 산정은 부재의 단면상수와 강성이 동일하며 모든 기둥이 동시에 좌굴된다는 기본가정을 갖고 있어 실무에 적용하기 위해서는 상당한 보정을 필요로 한다. 최근 차트법의 대안으로 구조물 전체에 대한 시스템 탄성좌굴 해석을 통해 유효좌굴길이를 산정하는 방법이 Jin et al.^[8] 등에 의해 제시되었으나 유효좌굴길이 산정에서 비탄성거동의 영향이 고려되지 않아 부재의 세장비에 관계없이 구조물 전체가 선형탄성거동을 가정하게 되며 실제 구조물의 붕괴를 살펴보면 탄성해석에 의한 좌굴모드와 파괴형상은 상당한 차이를 나타내게 된다. 한편, Kim et al.^[9]은 이를 비탄성 좌굴해석으로 범위를 확장하여 전체 구조시스템에 대한 비탄성 유효좌굴길이를 일반화 시켰으나, 강구조물의 부재간의 연결이 강절(rigid) 또는 활절(pinned)인 경우로 국한되는 한계를 갖고 있다. 그 밖에도 Seo et al.^[10]는 박벽단면 부재의 국부좌굴 및 횡-비틀림좌굴에 대한 연구를 수행하였고 Lee et al.^[11]는 플랜지의 폭두께비에 따른 회전능력을 조사하였으며 Park et al.^[12]는 조립보의 비탄성 횡좌굴 거동에 대한 실험 및 해석을 수행하였다.

본 연구에서는 실제 구조물의 거동에 부합될 수 있도록 재단모멘트에 대해 일정량의 회전변위가 허용되는 부분강절(semi-rigid) 특성과 재료적 비탄성거동을 고려한 고유치해석을 통해 구조물을 구성하는 개별부재의 유효좌굴길이를 산정하는 일반화된 해석기법을 제시하고자 한다. 이를 위하여, 구조물을 구성하는 압축부재의 기준내하력곡선에서 접선탄성계수와 유효좌굴길이를 산출하는 Ef법(Iwasaki et al.^[13])을 적용하여 도로교설계기준^[14]에서 제시하는 내하력곡선식으로부터 세장비에 대응하는 탄소성좌굴응력을 결정하고 이에 대응하는 새로운 접선 탄성계수를 얻을 수 있다. 결국, 본 연구에서는 부분강절을 갖는 뼈대구조와 관련된 이전의 연구^[15]로 부터 비탄성 거동을 고려하여 일반화된 부분강절 뼈대구조의 탄성 및 비탄성 좌굴해석을 수행하고 전체 구조계를 구성하는 개별부재의 유효좌굴길이를 비교하여 제시하고자 한다. 또한, 본 해석 이론을 토대로 Fortran 언어를 이용한 해석 프로그램을 개발하고 다양한 해석예제를 통해 부재 간 연결이 회전스프링인 부분강절 뼈대구조물의 탄성 및 비탄성 좌굴해석을 수행하였고 구조물을 구성하는 개별 부재의 유효좌굴길이를 함께 제시하였다. 본 연구에서 개발된 해석프로그램은 엄밀한 안정함수를 사용하고 있어, 구조물을 구성하는 직선부재 하나 당 한 개의 요소만을 사용하여 모델링해도 정확한 비탄성 시스템 좌굴하중을 얻을 수 있다.

본 장에서는 접선계수이론을 이용한 단일 기둥의 비탄성좌굴 해석방법과 도로교설계기준의 극한내하력설계기준을 소개하고 재료적 비선형성을 근사적으로 고려하는 해석기법을 제시한다.

2.1 접선계수이론과 압축부재의 비탄성 좌굴

본 절에서는 먼저 탄성거동을 하는 단순지지된 기둥부재의 좌굴응력과 좌굴모드는 선형탄성계수 를 이용하여 각각 다음과 같이 정의한다.

(1)

한편, 접선계수이론에 의한 평형방정식과 비탄성 좌굴응력은 접선탄성계수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 (2)

 (3)

여기서 탄소성 좌굴하중은 비례한도를 초과하는 범위에서의 비선형 응력-변형도 관계를 고려할 수 있어 알루미늄과 같은 특수재료의 비탄성 좌굴해석에도 적용될 수 있다. 접선계수 이론에 기초하여 시스템 좌굴 고유치 해석을 반복적으로 수행하고 개별부재에 대한 압축부재의 기준 내하력곡선에서 Ef법을 이용한 접선탄성계수 을 결정하고 이에 대응하는 새로운 접선 탄성계수를 다음 식과 같이 계산할 수 있다.

 (4)

새로운 접선탄성계수는 탄소성 좌굴응력 는 다음과 같이 얻어질 수 있다.

 (5)

 (6)

2.2 기둥의 극한내하력 설계규정

구조물을 구성하는 강재 기둥은 제작 및 시공오차에 의한 초기결함, 용접잔류응력, 단면형상 등에 의해 좌굴에 대한 내하력의 감소가 발생할 수 있으므로 도로교설계기준은 이론적인 좌굴해석 결과와 실험에 바탕을 둔 실험 결과를 고려하여 도로교 설계기준에 제시된 극한강도 이용해 극한내하력을 식 (7)과 같이 규정하고 있다.

(7a)

(7b)

(7c)

여기서, 좌굴응력 를 나타내면 다음과 같다.

 (8)

 (9)

식 (7a)는 단주로서 좌굴이 발생하지 않으므로 좌굴응력과 항복응력의 크기가 동일하고 식 (7b)와 식 (7c)는 좌굴응력이 감소하여 Fig. 1과 같이 수렴하게 된다. 또한, 수렴의 판정은 전단계 이내로 들도록 다음과 같이 정의한다.

 (10)

여기서

 (11)

3.1 강절로 연결된 뼈대구조의 접선강도행렬

Fig. 2(a)는 평면 뼈대요소의 부재좌표계 를 나타낸 것으로 구성 성분은 다음과 같다.

 (12a)

 (12b)

여기서, 는 축방향 변위, 횡변위, 회전변위를 의미한다. 부재에 작용하는 축력이 일정한 경우, 축방향 거동은 Bowing 함수를 고려하여 다음과 같은 힘-변위 관계를 갖는다.

 (13)

 (14)

여기서 E 와 A는 탄성계수와 부재의 단면적을 나타내며 로 정의된다. 한편, 면내변형은 Fig. 2(b)의 모멘트 평형으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 (15)

또한, 모멘트-전단력의 관계와 모멘트-휨강성 관계는 다음과 같다.

 (16)

 (17)

식 (15)와 식 (16)으로부터 경계조건은 다음과 같이 정의된다.

(18)

또한, 식 (17)을 식 (15)에 대입하면, 다음과 같은 4계 미분방적을 얻을 수 있다.

 (19)

여기서

 (20)

식 (19)로부터 처짐에 대한 일반해는 다음과 같다.

 (21)

또한, 식 (21)을 식 (18)의 경계조건을 이용하고 식 (20)으로부터 유효좌굴계수 을 적용하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

(22)

그리고 미지계수 를 취해 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 (23a)

 (23b)

 (23c)

여기서

 (24)

식 (23)을 고려하여 식 (21)에 대입하고 식 (16)과 식 (18)를 이용하면 p단에서의 전단력은 다음과 같이 얻어진다.

 (25)

동일한 방법으로 q단에서의 전단력을 나타내면 다음과 같다.

 (26)

한편, 식 (17)과 식 (18)로 부터 p 단에서의 모멘트가 다음과 같이 유도된다.

 (27)

동일한 방법으로 q 단의 모멘트는 다음과 같다.

 (28)

결국, 식 (25)~(28)을 취합하여 행렬형태로 재단력-재단변위 관계를 나타내면 양단이 모두 강절인 2차원 뼈대요소의 접선강도행렬 을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 (29)

양단이 강절로 연결된 식 (29)의 접선강도행렬 은 이전의 연구결과^[15]를 참고할 수 있다.

3.2 부분강절로 연결된 뼈대구조의 접선강도행렬

Fig. 3은 부재 양단에 회전스프링을 갖는 부분강절 뼈대구조를 나타낸 것으로 는 부분강절로 연결됨으로 인하여 발생되는 부재 양단의 회전각으로서 다음과 같이 정의 된다.

(30)

그리고

(31)

여기서 가 얻어지며 이를 고려하여 재단력-재단변위 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 (32)

여기서 는 이전의 연구결과^[16]와 동일한 형태이나 본 논문에서 제시된 부분강절 뼈대구조의 접선강도행렬은 강절연결된 뼈대구조의 접선강도행렬에 대해서 스프링을 도입하여 힘-변위 관계를 구하고 가로흔들이 거동을 적용하여 얻은 결과이며, 이전의 연구^[15]는 양단이 회전스프링으로 연결된 보를 미리 가정한 후, 보의 양단에 단위 횡변위와 단위 회전변위를 각각 발생시켜 이에 대응하는 재단 변위성분을 구하고 평형조건으로부터 힘-변위 관계를 정리하여 행렬의 구성성분을 유도한 것으로 비교될 수 있다.

한편, 안정함수를 이용하여 유도된 식 (32)의 접선강도행렬 인 상수행렬로 분리하여 나타낼 수 있다.

 (33)

여기서 식 (33)을 구성하는 는 이전의 연구결과^[13]를 참고할 수 있다.

3.3 부분강절 구조계의 비탄성 해석프로그램 개발

본 연구에서는 부분강절 뼈대구조의 효율적인 비탄성 좌굴해석을 수행하기 위하여, 식 (32)의 접선강도행렬을 사용한 비탄성 좌굴해석프로그램 를 산정하는 선형 근사해석기법으로 정확한 해석을 위해서는 다수의 유한요소 분할이 요구되며 Eigen Vector는 산정할 수 없다.

다양한 종류의 수치해석을 통해 본 연구에서 제시한 부분강절 뼈대구조의 탄성좌굴과 비탄성좌굴 특성을 비교하고 식 (32)의 접선강도 행렬에 의한 해석 를 식 (34)과 같이 정의하였다.

 (34)

4.1 다양한 경계조건을 갖는 표준 기둥

본 예제에서는 Fig. 4와 같이 다양한 경계조건을 갖는 표준 기둥에 대해 식 (32)의 접선강도 행렬을 이용한 해석 를 사용하는 경우에 직선부재 1개당 5개 요소를 적용하였다.

Table 1은 Fig. 4에 제시된 여러 기둥들에 대한 탄성 및 비탄성 좌굴해석 결과를 나타낸 것으로, C-F는 Clamped- Free, P-P는 Pinned-Pinned, C-C는 Clamped-Clamped, C-S는 Clamped-Sliding, C-P는 Clamped-Pinned 경계조건을 나타낸다. Table 1에서 Timoshenko and Gere^[17]의 탄성좌굴 값이 본 연구에서 제시한 는 비탄성좌굴에서 경계조건에 관계없이 특정 값의 분포를 나타냈다.

4.2 고정지지된 부분강절 라멘

본 예제에서는 지점이 고정 지지되고 수평부재와 수직부재가 부분강절로 연결된 라멘형 뼈대구조에 대하여 회전스프링의 강성변화에 따른 탄성 및 비탄성 해석을 수행하였다. 식 (31)에서 제시된 수평부재 양단의 회전스프링 값 K_θ와 무차원화 된 회전강성 R의 관계를 고려하여 R을 0(활절)에서 ∞(강절)까지 변화시키며 수치해석을 수행하였고 좌굴하중 P_cr 및 유효좌굴계수 k_e를 Table 2에 각각 제시하였다. 접선강도 행렬을 이용한 해석 M1(부재 당 1개 요소 적용)과 탄성강도행렬 및 기하학적 강도행렬에 의한 해석 M2(부재 당 5개 요소 적용)를 이용한 해석 결과의 최대 차가 0.006%로 서로 잘 일치함에 따라 Table 2 및 Fig. 7은 에 M1의한 해석결과만을 제시하였으며 활절과 강절 연결조건의 경우에 Sekulovic and Salatic^[18]은 각각 489kN 및 1,530kN의 탄성좌굴하중이 얻어져 본 연구의 해석결과와 동일하게 나타났다. 분분강절의 강도에 따라 수직부재의 탄성좌굴에 대한 유효좌굴계수 k_e는 1.131에서 2.0의 범위를 갖으며 비탄성의 좌굴인 경우 1.526에서 2.265의 범위를 나타냈다. 이 결과로 부터 구조 부재의 유효좌굴계수는 비탄성의 경우에 2.0 이상의 값이 발생할 수 있음을 인지하고 설계에 반영하여야 한다. Fig. 7은 정규화된 회전강성 R의 크기에 따른 탄성 및 비탄성 좌굴하중과 유효좌굴계수 k_e의 변화를 나타낸 것으로, R의 증가에 따라 좌굴하중은 단조증가하고 유효좌굴계수는 반대로 단조 감소함을 알 수 있다.

Fig. 8은 접선강도 행렬을 이용한 해석기법 의 경우에는 가로 흔들이가 거의 없는 대칭형태의 좌굴형상이 탄성 및 비탄성 좌굴모드를 나타냈다.

4.3 비횡지지 및 횡지지 3층 부분강절 뼈대구조물

본 예제에서는 지점은 활절이고 수평방향에 대해 비횡지지 및 횡지지 경계조건을 갖는 3층 뼈대구조물에 단위 수직하중 의 변화에 따른 탄성 및 비탄성 좌굴해석을 수행하였다.

해석 시 부재 당 5개 요소를 적용한 에 의한 결과만을 제시하였다.

본 예제에서 회전스프링 강성이 R=0.0165(K_θ = 150 kN･m/rad)인 경우에, 해석기법이 다른 Mageirou and Gantes^[19]는 비횡지지 및 횡지지 조건의 탄성좌굴하중을 각각 21.94kN 및 11,275kN를 제시하여 본 연구의 해석결과와 거의 일치(99.8% 및 99.9%)하였다. 또한, Fig. 10(a)는 스프링강성 R의 변화에 따른 비횡지지된 구조(Sway Model)의 탄성 및 비탄성 좌굴하중은 서로 유사하게 나타났으나 Fig. 10(b)와 같이 횡지지된 경우(Non-Sway Model)에서는 좌굴하중의 차이가 일정한 크기로 큰 차이가 있음을 알 수 있다. 이는 비횡지지된 구조계의 임계하중이 작아 재료가 비탄성 범위에 들기 전에 좌굴되는 현상으로 파악되며 이러한 영향은 Fig. 10의 유효좌굴계수 k_e에서도 나타나고 있다.

Fig. 11과 Fig. 12는 경계조건에 따른 구조물의 좌굴형상을 에 의해 해석하여 나타낸 것으로 형상좌표를 얻기 위해 직선 부재 당 10개의 요소를 적용하였고 얻어진 고유벡터에 확대계수를 적용하여 좌굴모드를 제시하였다. Fig.  11 및 Fig. 12에서 알 수 있는 바와 같이 좌굴모드는 탄성과 비탄성좌굴에 관계없이 유사한 좌굴형상을 나타냈고 그림표기를 위한 확대계수는 서로 다르게 적용되었다. 이로부터 구조부재의 좌굴형상은 부재의 비탄성 거동 보다는 부재 간에 연결된 회전 스프링 강성에 따라 큰 차이가 나타남을 확인할 수 있다.

본 연구에서는 부분강절 뼈대구조의 극한 내하력을 파악하기 위하여 탄성좌굴을 비탄성좌굴로 해석범위를 확대하고 전체 구조계를 구성하는 개별 부재의 유효좌굴길이를 산정하였다. 이를 위하여, 안정함수를 이용한 접선강도 행렬과 선형화된 탄성 및 기하학적 강도행렬에 대해 Ef법에 의한 재료적 비탄성 거동을 고려할 수 있도록 이론화하였으며 Fortran 언어를 이용한 비탄성 해석프로그램을 개발하였다. 또한, 다양한 수치해석 예제를 통해 부분강절이 구조계의 탄성 및 탄소성 좌굴과 유효좌굴길이에 미치는 영향을 조사하였으며 핵심 내용을 요약하면 다음과 같다.

(1)Ef법(iwasaki)을 적용하여 도로교설계기준에 근거하는 내하력곡선식으로부터 유효좌굴세장비에 대응하는 탄소성 좌굴응력을 결정하고 이에 대응하는 새로운 접선탄성계수를 산출함으로서 부분강절 뼈대구조의 비탄성 좌굴해석 방법을 제시하였다.

(2)이전의 연구^[15]에서 제시되었던 부분강절 뼈대구조의 엄밀한 비선형 접선강도행렬 를 이용하여 구조물의 비탄성 거동을 고려할 수 있는 좌굴해석 프로그램을 개발하였다.

(3)부분강절 뼈대구조의 탄성 및 비탄성 좌굴 그리고 유효좌굴길이에 대한 매개변수 연구를 통해 부분강절이 시스템 좌굴과 개별부재의 유효좌굴길이에 미치는 영향을 다양한 수치해석을 통해 제시하였다.

(4)비탄성 좌굴과 부분강절이 전체 구조물의 좌굴형상(고유벡터)과 유효좌굴계수에 미치는 영향을 제시하였다.