교량부재의 신뢰도 계산을 위한 시간에 따른 상태함수 g_i[X(t)]는 다음과 같이 구성할 수 있다.

여기서, X(t)는 하중-저항에 관련한 시간에 따른 확률변수 벡터이며, r_i와 s_i는 i번째 교량부재의 저항과 하중을 나타낸다. 식 (1)의 상태함수를 사용하여 i번째 교량부재의 파괴확률(probability of failure) p_f,i(t)와 신뢰도 지수(reliability index) β_i(t)를 다음과 같이 나타낸다.

여기서, Φ는 표준정규분포의 누적분포함수이다. 교량부재의 파괴확률로 교량 구조시스템의 파괴확률 p_f,sys 및 신뢰도 지수 β_sys를 계산하기 위해서는 일반적으로 교량전체를 직렬-병렬로 모델링한다. 또한, 교량부재의 상태함수에 포함된 확률변수의 다양한 분포형상과 상관계수를 고려하여 구조시스템의 파괴확률 및 신뢰도 지수를 계산하기 위해, CALREL, STRUREL, PROBAN과 UQlab 등과 같은 프로그램을 사용할 수 있다. 본 연구에서는 MATLAB 기반의 UQlab^[7]을 사용한다.

교량 구조시스템의 여유도는 교량 부재의 손상에서 파괴에 도달하기 전까지의 사용 가능성을 나타내는 것으로 이를 정량화하기 위해 다양한 정의가 존재한다. 본 논문에서는 여유도 지표(redundancy index) RI를 다음과 같이 계산한다^[8].

여기서, β_sys(t)는 시간 t에서 손상이 없는 상태의 시스템 신뢰도 지수이며, β_dmg(t)는 시간 t에서 최초 구조부재 파괴 시 시스템 신뢰도 지수를 나타낸다. β_sys(t)와 β_dmg(t)의 상대적 차이가 클수록 큰 여유도를 가진다.

위험도는 구조물의 파괴에 따른 결과를 정량화하는 지표로서 파괴확률과 이에 따른 손실을 곱하여 계산한다. 일반적으로 구조물의 파괴에 따른 손실은 직접손실과 간접손실로 나뉜다. 직접손실은 구조물을 원래 상태로 복원하는데 필요한 비용으로 간주한다. 간접손실은 구조물손상으로 인해 발생하는 경제적, 사회적 손실을 포함한다. 교량부재의 파괴로 인한 교량 구조시스템의 직접손실과 간접손실에 대한 위험도를 다음과 같이 구분하여 계산할 수 있다^[9].

여기서, RK_dir,i(t)와 RK_ind,i(t)는 i번째 교량부재 파괴에 따른 직접 위험도와 간접 위험도이며, L_dir,i(t)와 L_ind,i(t)는 이와 관련한 손실을 나타낸다. 또한, p_f,sub,i(t)는 i번째 교량부재의 파괴로 인한 교량 전체 시스템의 파괴확률이다. 여기서, 직접손실에 대한 위험도 RK_dir,i(t)는 해당교량 부재의 교체에 따른 기대 비용만을 나타내지만, 간접손실에 대한 위험도 RK_ind,i(t)는 교량 부재의 파괴로 인해 발생할 수 있는 전체 시스템의 파괴에 따른 간접적 손실의 기대비용을 나타내므로 p_f,sub,i(t)를 추가로 곱하게 된다. i번째 교량부재의 파괴로 인한 교량 시스템의 전체 위험도 RK_i(t)는 다음과 같다.

위험도의 간접손실 L_ind,i(t)은 교량 사용자가 우회도로를 사용함에 따라 발생하는 금전적 손실과 안전손실 비용으로 계산할 수 있다. 교량 사용자의 우회도로 사용에 따른 거리비용 C_dis은 다음과 같이 계산한다^[10].

여기서, C_veh는 거리 당 차량운행비용, D는 우회거리, AAT는 일평균교통량, 그리고 t_de는 우회도로 사용기간을 나타낸다. 또한, 우회도로 사용에 따른 시간비용 C_tm은 승용차 탑승인원 수에 따른 사용자 비용과 트럭의 상품운반에 필요한 시간비용을 고려하여 다음과 같이 계산한다^[10].

여기서, C_va,u는 시간당 사용자 임금, O_cc는 승용차 평균 탑승 인원수, ADTT는 일평균트럭비율, C_va,trk는 트럭의 상품운반 시간비용, 그리고 S는 평균속도를 나타낸다. 안전 손실비용 C_saf는 다음과 같이 평가한다^[11].

여기서, L_br은 교량 총길이, D_S는 차량운행간격, O_trk는 평균트럭대수, 그리고 ICAFB는 단위인명손실비용을 의미한다. 간접손실비용 L_ind,i(t)은 식 (6), 식 (7)과 식 (8)의 합으로 계산한다.

Fig. 1(a)의 강거더 교량은 3경간 단순보로 9개의 강거더와 콘크리트 상판으로 구성된다. 해당 교량에 대한 구체적인 정보는 Estes^[12], Estes and Frangopol^[13]에서 찾아볼 수 있다. 본 논문에서는 외측거더 1, 9, 내측거더 2와 8과 내측거더 3~7로 구분하여, 휨 파괴에 대한 다음의 상태함수를 사용한다.

식 (9a) - (9c)의 확률변수의 정의와 값을 Table 1에 정리하였다. 여기서, λ_con, λ_stl, λ_aph는 각각 콘크리트, 강재, 아스팔트 고정하중의 불확실성을 나타내는 계수이며, DF_ex, DF_{ex_in}과 DF_in는 하중분배계수를 나타낸다. Z_ex(t)와 Z_in(t)은 시간에 따른 외측거더와 내측거더의 소성단면 계수로 부식에 따라 감소하게 되는데, Kayser and Nowak^[14]에 의해 평균 부식침투 깊이 d_cor(t) (10 mm^-3)를 다음과 같이 계산한다.

여기서, d와 ψ는 강재의 종류와 부식환경에 따라 결정되는 확률변수로는 로그정규분포를 가지며, 평균, 표준편차 및 상관계수를 Kayser and Nowak^[14], Sharifi and Paik^[15]에 의해 Table 2와 같이 정리하였다. 본 논문에서는 Table 2에서 보는 바와 같이 외측거더(1, 9)와 내측거더(2~8)에 대한 부식환경을 A_cor과 B_cor로 구분였으며, 일반강재와 내후성강재에 사용조건을 각각 CS와 WS로 나타낸다. 본 논문에서는 부식환경과 강재사용을 조합하여 4가지 경우(A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS, B_cor-WS)를 적용하여 신뢰도, 여유도 및 위험도를 비교 평가하였다. 또한, Fig. 1(b)에 나타낸 바와 같이 9개 거더의 휨파괴를 모두 고려하는 2개의 시스템 모델링을 사용하였다. 시스템 모델링 I에서는 어느 하나의 외부거더 파괴 또는 인접한 2개 내부거더 파괴가 전체 시스템 파괴로 가정하였고, 시스템 모델링 II에서는 외부거더와 인접한 내부거더의 파괴 또는 인접한 3개 내부거더의 파괴가 전체 시스템의 파괴로 가정하였다.

Fig. 1(a)의 거더를 Table 2의 carbon steel에 대한 부식환경을 적용하였을 때, 시간에 따라 신뢰도 지수를 Fig. 2에 나타내었다. 외측거더(거더 1과 9), 내측거더(거더 2와 8), 그리고 내측거더(3~7)는 식 (9a), 식 (9b)와 식 (9c)의 상태함수를 적용하여 식 (2)에 의해 신뢰도 지수 β를 계산한다. Fig. 2에서 보는 바와 같이 외측거더는 초기 가장 큰 신뢰도 지수를 가지며, 내측거더 2와 8이 두 번째로 크지만, 이후 내측거더 3~7보다 작게 된다. 또한, B_cor-CS가 A_cor-CS보다 부식을 더 유발시키는 조건이므로, Fig. 2(b)의 B_cor-CS에 대한 신뢰도 지수 감소가 Fig. 2(a)의 A_cor-CS보다 더 크다는 것을 알 수 있다.

Fig. 2. 
Reliability index of each girder

Fig. 1(b)의 시스템 모델링 I과 II에 대한 신뢰도 지수를 Fig. 3에 나타낸다. 이는 Fig. 2에서 계산된 각 거더의 신뢰도 지수와 프로그램 UQlab^[5]을 사용하여, Fig. 1(b)의 시스템 모델링 I과 II에 대해 거더 1~9 관계가 독립(independent)인 경우와 완전상관(perfectly correlated)관계인 경우로 나누어 신뢰도 지수를 계산하였다. Fig. 3(a)와 Fig. 3(b)에서 동일한 상관관계에서 시스템 모델링 I이 II보다 신뢰도 지수가 A_cor-CS와 B_cor-CS에서 대체로 작으나, B_cor-CS의 경우 약 40년 이후 시스템 모델링 I의 크기가 시스템 모델링 II보다 크다. 또한, 동일한 시스템 모델링에서 거더 간 완전상관관계가 독립관계보다 신뢰도 지수가 항상 작으며, 거더 간 완전상관관계에서는 시스템 모델링 I과 II의 시스템 신뢰도 지수의 차이가 크지 않음을 알 수 있다.

Fig. 3. 
Reliability index of system

여유도 지수는 앞서 설명한 바와 같이 손상단계에서 파괴에 도달하기 전까지의 교량의 사용가능성을 나타내는 지표이다. 여유도는 식 (3)에 의해 시스템 모델링 I과 II의 A_cor-CS와 B_cor-CS에 대해 Fig. 4(a)와 Fig. 4(b)에 각각 나타내었다. 여유도는 A_cor-CS와 B_cor-CS에서 주어진 거더의 상관관계에서 모두 시스템 모델링 II이 시스템 모델링 I보다 크다. 또한 A_cor-CS의 경우, 거더 간 완전상관관계에서는 시스템 모델링 I과 II 사이에 차이가 크지 않음을 알 수 있다. 이는 시스템 신뢰도 지수가 독립관계에서 가장 크며, 완전상관관계에서 시스템 신뢰도 지수의 차이가 크지 않는 Fig. 3의 결과와 일치함을 알 수 있다. Fig. 4(b)에서 시스템 모델링 I과 II에서 여유도 지수가 시간이 지남에 따라 일부 증가함을 볼 수 있는데, 이는 식 (3)의 여유도 지수의 정의에 의해 시간 t에 따라 β_sys(t)의 감소가 β_dmg(t)의 감소보다 작기 때문이다.

Fig. 4. 
Redundancy index of system

위험도는 식 (4) - (8)을 적용하여 계산하며, 간접손실계산에 필요한 변수의 값을 Table 3에 정리하였으며, 보다 상세한 정보는 Stein et al.^[10], Estes^[12]에서 찾아볼 수 있다. Fig. 5에서 시스템 모델링 I과 II의 파괴에 따른 위험도를 나타내었다. 식 (4) - (8)에 따라 각 거더의 파괴에 따른 위험도를 계산하는데, Fig. 5의 시스템 모델링 I과 II의 위험도는 시스템 파괴확률에 교량 시스템 모델에 대한 L_dir(t)와 L_ind(t)의 합을 곱하여 계산한다.

Fig. 5. 
Risk of system modeling with carbon steel

Fig. 5의 위험도는 시간 증가에 따라 파괴확률이 증가하며, 신뢰도 지수가 감소하기 때문이며, Fig. 3의 신뢰도 지수에 직접적인 영향을 받게 된다. 시스템 I과 II에서 거더 간 완전상관관계의 위험도 차이가 적은 것도 Fig. 3에서 시스템 I과 II에서 거더 간 완전상관관계의 신뢰도 지수 차이가 적기 때문이다.

시스템 모델링 I의 독립관계와 완전상관관계에서 Table 2에 정의된 네 가지 조건 A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS 그리고 B_cor-WS에 대한 신뢰도 지수, 여유도 지수, 위험도를 Fig. 6와 Fig. 7에 비교하였다. Fig. 6에서 보는 바와 같이 각 조건에서 신뢰도 감소와 위험도 증가가 일관성을 가지지만, 여유도는 B_cor-CS 조건에서는 지속적으로 감소하며, B_cor-WS에서는 증가하는 경향을 가진다. 또한, Fig. 7의 시스템 모델링 I의 완전상관관계에서도 네 가지 조건 A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS 그리고 B_cor-WS에서 신뢰도 감소와 동시에 위험도 증가가 나타나지만, 여유도는 B_cor-CS 조건을 제외한 나머지 3개 조건에서는 시간에 따라 증가하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6. 
Performances of system modeling I with independent girders

Fig. 7. 
Performances of system modeling I with perfectly correlated girders

Fig. 6(a)와 Fig. 7(a)의 신뢰도 지수 비교에서는 A_cor-CS와 A_cor-WS가 독립관계와 완전상관관계에서 모두 B_cor-CS와 B_cor-WS보다 각각 큰 값을 가진다. 이에 따라 위험도는 Fig. 6(c)와 Fig. 7(c)에서 보는 바와 같이 A_cor-CS와 A_cor-WS가 B_cor-CS와 B_cor-WS보다 각각 작은 값을 가진다. 또한, B_cor-CS와 B_cor-WS의 차이는 신뢰도와 위험도 모두 A_cor-CS와 A_cor-WS의 차이보다 크며, 이를 통해 부식환경조건 A_cor보다 B_cor에서 사용강재의 영향이 교량 시스템의 신뢰도 지수와 위험도 측면에서 더 크다고 볼 수 있다. 한편, 여유도 지수는 완전상관관계와 독립관계에서 모두 B_cor-WS가 가장 큰 값을 가진다. 이는 여유도 지수가 β_sys(t)와 β_dmg(t)의 차이에 의해 결정되므로, Figs. 6-7의 신뢰도 지수와는 다른 경향을 가진다.

강재 종류와 부식환경, 교량 시스템 모델링과 그 구성요소인 거더의 상관관계에 따른 신뢰도 지수, 여유도 지수와 위험도의 상호관계를 정량화하기 위해 3.2절에서 3.5절에 제시된 결과를 기반으로 각 지표들의 상관계수 ρ(correlation coefficient)를 계산하였다. Fig. 8(a)와 Fig. 8(b)는 Table 2에 정의된 네 가지 조건 A_cor-CS, A_cor-WS, B_cor-CS 그리고 B_cor-WS에서 시스템 모델링 I의 거더 간 독립관계와 완전상관관계에서의 각 지표 간 상관계수를 나타내며, Fig. 9(a)와 Fig. 9(b)는 시스템 모델링 II의 각 지표들의 상관계수를 나타낸다. 여기서, 두 개의 성능지표에 대한 상관계수는 값은 –1에서 1의 값을 가지며, 0일 경우 두 개의 성능지표는 독립관계이다. 두 개의 지표값이 동시에 선형으로 증가 (또는 감소)하는 경우 상관계수는 1이며, 반대로, 하나의 지표 값의 증가가 다른 하나의 선형적 감소를 유발할 경우 상관계수는 –1이다. Fig. 8과 Fig. 9에서 ρ₁₂, ρ₁₃와 ρ₂₃는 각각 신뢰도와 여유도, 신뢰도와 위험도, 그리고 여유도와 위험도의 상관계수를 나타낸다.

Fig. 8. 
Correlation coefficient for system modeling I

Fig. 9. 
Correlation coefficient for system modeling II

Figs. 8-9에서 신뢰도와 위험도의 상관계수 ρ₁₃는 항상 (–)값을 가지며, 이는 신뢰도의 증가가 위험도의 감소를 유발함을 나타낸다. 상관계수 ρ₁₃ 값은 대체로 –0.8에서 –1.0의 값을 가지나, 시스템 모델링 II의 B_cor-CS에서 –0.6에서 –0.8의 값을 가져 상대적으로 적은 상관성을 가진다. 한편, 신뢰도와 여유도 (또는 여유도와 위험도)는 상관계수의 (+) 또는 (–)의 일관성이 없으며, 여유도 지수는 강재 종류와 부식환경, 교량 시스템 모델링과 그 구성요소인 거더의 상관관계에 따라 신뢰도나 위험도로부터 추정이 어려우며, 별도의 평가가 필요함을 나타낸다. 마지막으로, 신뢰도와 위험도는 상관성이 크므로, ρ₁₂와 ρ₁₃가 동일한 부호(+ 또는 –)의 상관계수값을 가질 경우 ρ₂₃의 상관계수는 (+)값을 가진다. 이와 반대로 ρ₁₂와 ρ₁₃가 다른 부호의 상관계수값을 가질 경우 ρ₂₃는 (–)값의 상관계수를 가진다.