Current Issue

외부에서 초기 긴장력이 도입된 PS 강재보의 구조적 안정성에 대한 문제는 지난 수십 년 동안 활발히 진행되어온 연구 주제이다. PS 보/기둥은 부재 길이에 걸쳐서 텐던이 거치되는 다수의 편향부(deviator)가 설치되어 있고, 외부에서 긴장력이 도입되는 텐던에 의하여 구조 강성이 증진되는 효율적인 구조부재이다. 보-기둥에서 횡변위와 비틀림 변위가 구속된 지점 사이의 길이인 비지지 길이가 증가할수록 횡좌굴 강도는 현격히 감소한다는 점은 널리 알려져 있는 사실이다. 텐던에 의하여 외부 긴장력이 도입되는 PS 보/기둥에서는 텐던이 거치되는 편향부에서 강형의 횡변위와 비틀림 변위가 구속되는 효과가 발생한다. 즉, PS 강재보의 비지지 길이가 보의 전체 지간에서 지간 내부에 설치되는 편향부 사이의 간격으로 감소되어 결과적으로 PS 강재보의 좌굴강도가 증가한다.

이러한 긴장력이 도입된 PS 강구조의 거동에 대한 초창기 연구로서 Belenya^[1]는 PS 강구조의 임계하중에 대한 연구를 수행하였고, 그 이후 외부에서 텐던에 의하여 긴장력이 도입되는 보-기둥의 좌굴거동에 대한 다수의 해석적 및 실험적 연구가 발표되었다^[2]-[5]. 하지만 PS 강재보의 횡비틀림 좌굴거동에 대한 연구는 많지 않은 실정이며 대부분의 연구는 외부 긴장 PS 강재보의 면내 휨거동에 대한 연구들이다^[6]-[9]. Belletti and Gasperi^[10]는 길이가 40 m인 PS 강재 거더에 대하여 쉘요소를 사용한 비선형해석을 통하여 PS 거더의 파괴거동을 분석하였다. Ghafoori and Motavalli^[11]는 서로 다른 긴장력이 도입된 접착 및 비접착 CFRP 라미네이트로 보강된 강재 보의 횡비틀림 좌굴거동을 수치적 및 실험적으로 규명하였다. Kambal and Jia^[12]는 다수의 편향부가 있는 PS 강박스 거더의 휨 거동에 대한 유한요소해석기법을 개발하고 해석결과를 실험값과 비교하였다. Ren et al.^[13]은 Timoshenko 보 이론을 기반으로 집중 하중을 받는 PS 보의 휨 거동에 대한 연구를 수행하였다.

최근에는 PS 강재보의 횡비틀림 좌굴거동에 대하여 Kim et al.^[14]은 편향부의 수에 따른 횡비틀림 좌굴하중에 대한 엄밀해를 제시하였고, 텐던에 의해 초기 긴장력이 도입된 대칭 단면을 갖는 강재보의 면외 좌굴에서 비접착/접착(unbonded/bonded) 편향부의 좌굴안정화 효과를 분석하였으며, 초기장력으로 인한 편향부가 PS 보의 좌굴강도를 크게 향상시킬 수 있다는 사실을 규명하였다. Zhang^[15]은 Euler-보 모델과 Kirchhoff-판 모델을 기반으로 양단부에서 동일한 휨모멘트를 받고 지간 중앙에 단일 편향부가 있는 PS 강재보의 횡비틀림 좌굴하중을 해석적으로 도출하였다. Kim et al.^[16]-[18]은 다수의 편향부가 있는 단순보 및 캔틸레버 PS 보의 휨좌굴 거동을 해석하였고, 접착/비접착 및 연속/불연속 편향부가 설치되고 압축력 및 균일한 모멘트를 받는 대칭 및 일축비대칭 단면을 갖는 단순/캔틸레버 PS 강재보에 대한 새로운 횡비틀림 좌굴이론을 발표하였다. Khosla^[19] 및 Hathout^[20]은 PS 기둥의 좌굴안정성에 대한 유한요소해석기법에 대한 연구를 수행하였고 Chen et al.^[21] 및 Zhou et al.^[22]은 비접착 케이블 요소에 대한 유한요소해석을 발표하였다.

하지만 PS 강재보의 횡비틀림 좌굴에 대한 유한요소 해석에 대한 엄밀한 정식화는 현재까지 제시되지 않고 있으며, 본 연구에서는 외부 긴장 PS 강재보의 면내 및 면외 횡비틀림 좌굴거동에 대한 일반화된 유한요소해석기법을 새로이 제시하였다. 초기 긴장력, 압축력 및 단부 휨모멘트의 세 가지 외력 조건 대하여 접착/비접착 편향부가 있는 PS 시스템의 총 포텐셜 에너지를 유도하였다. 편향부의 수에 따른, 단순지지 및 캔틸레버 지지조건을 갖는 PS 강재보의 면내/면외 횡비틀림 좌굴거동을 분석하였다.

불연속적으로 설치된 편향부의 편심이 일정하여 직선으로 배치된 텐던에 의하여 초기장력이 도입된 PS 강재보가 있다. 강형에 부착되는 편향부는 완전한 강결되었다고 가정하는 반면, 텐던과 편향부 사이의 연결은 접착되지 않은 상태(즉, 축 방향으로 상대적인 슬라이딩을 허용하는 상태) 또는 접착된 상태임을 가정한다.

Fig. 1(a)와 Fig. 1(b)는 프리스트레싱 이전에 2개의 편향부와 직선 텐던이 있는 강재보에 대한 x, y, z 좌표와 강재보의 단면형상이다. l은 강재보의 길이, l_c는 긴장력이 도입되기 이전 텐던의 무응력 길이이다. Fig. 1(c)는 초기장력 H_o에 의하여 단순지지된 PS 강재보의 변형된 형상이고, Fig. 1(d)는 초기장력이 도입된 후 자유단에 작용하는 압축력과 휨모멘트에 의해 변형된 PS 캔틸레버이다.

Fig. 1. 
PS beam under prestress and external forces

PS 강재보의 3차원 좌굴 문제를 정식화하기 위하여 다음과 같은 가정을 도입한다.

• (1) 편항부는 강재보와 완전한 강결로 연결되어 텐던의 변위는 연결부에서의 강재보의 변형에 의존한다.
• (2) 텐던의 초기 긴장력은 초기 PS 강재보 전체 길이에 따라 일정하다.
• (3) 편향부와 텐던의 접촉은 외부 하중에 따라 접착(bonded) 또는 비접착(unbonded) 상태에 놓인다.
• (4) 외부하중으로 인한 면내 부재력은 선형탄성해석으로 결정되며, 면외좌굴거동에서 좌굴이 발생하기 이전의 사전변형은 무시한다.

PS 강재보의 단부 지지조건으로 단순지지되어 있는 경우를 ‘SB’, 일단고정-일단자유인 경우를 ‘CB’라고 표기한다. x, y, z축 방향으로의 변위성분을 각각 u, v, w라고 하고, 단면의 도심점에서 비틈회전각을 θ로 나타내면 두 가지 지지조건에 대한 경계조건은 식 (1a) 및 식 (1b)과 같다.

• Simple beam (SB):

• Cantilever beam (CB):

여기서 위첨자 ′은 부재축에 대한 미분을, 아래첨자 o과 l은 각각 부재 시작점과 끝점을 나타낸다. 또한, Fig. 1(a)와 같은 PS 강재보에서 l_c와 H_o 사이의 관계는 Fig. 1(c)를 기반으로 하는 적합조건에서 도출되며 좌굴하중 산정에 있어서 일관되게 적용된다. Fig. 1(c)와 Fig. 1(d)의 면내 변위 u, v는 각각 초기장력과 외부 하중에 의한 전체 변형 효과로 나타나고, 좌굴상태에서 면외 횡변위와 비틀림변위 w, θ가 발생한다. PS 강재보의 면내 및 면외 좌굴을 유발시키는 하중조건은 다음의 세 가지 경우를 고려한다.

• (1) LC1: 텐던의 초기 긴장력 H_o만 재하되는 경우(P = M = 0)
• (2) LC2: 텐던의 초기 긴장력 H_o와 압축력 P는 작용하고, 휨모멘트는 재하되지 않는 경우(M = 0)
• (3) LC3: 텐던의 초기 긴장력 H_o와 부재 단부에서 휨모멘트 M은 작용하고, 압축력은 작용하지 않는 경우(P = 0)

본 장에서는 텐던과 편향부의 연결부에 대한 접착/비접착 조건을 고려하여, 외력을 받는 PS 강재보의 총포텐셜에너지를 도출한다. 외력으로 재하되는 P와 M의 영향으로 PS 강재보에 발생하는 부재 내력은 축력 F₁, 전단력 F₂, 휨모멘트 M₃ 및 텐던의 장력 H가 발생한다. 여기서 모든 변위성분은 단면의 도심점에서 정의됨을 유의한다. 단부모멘트 M은 quasi-tangential 모멘트라고 가정할 때 박벽 단면을 갖는 강재보의 변형에너지 V_B는 식(2)와 같다^[18].

여기서, EA, EI₂, EI₃, GJ, EI_ϕ는 각각 축강성, x₂와 x₃축에 대한 휨강성, 비틈강성, 뒴(warping)강성이고 β₁ = (I₂ + I₃)/A이다.

식 (2)에서 내력모멘트 M₃는 semi-tangential 모멘트를 의미하고, 밑줄 친 항은 quasi-tangential 외력 모멘트 M의 2차효과를 나타내며 이 두 모멘트의 개념을 Fig. 2에 도식적으로 표기하였다^[17],[23].

Fig. 2. 
Semi-tangential and quasi-tangential moment

한편, m–1개의 편향부가 설치되어 m개의 분할구간을 갖는 PS 강재보에서 텐던의 장력은 편향부와 텐던과의 비접착/접착조건에 따라 각각 식 (3a), 식 (3b)와 같다^[17],[18]. 여기서, H, H_i는 각각 비접착 및 접착조건에서 텐던의 장력이다.

여기서, l_i, l_ci는 각각 i번째 텐던에 대응하는 분할구간에서의 강재보의 길이와 텐던의 무응력 길이; u_i, v_i, w_i, θ_i 는 각각 i번째 분할구간에서의 축방향변위, 횡방향변위 및 비틀림변위; b는 Fig. 1(b)에 도시한 바와 같이 이중으로 배열된 텐던 사이의 이격거리; 아래첨자 ip, iq는 각각 i번째 구간의 시작점과 끝점을 나타낸다. 또한, 비접착조건과 접착조건에 대한 텐던의 탄성변형에너지는 각각 식 (4a), 식 (4b)와 같다.

여기서, 위첨자 U, B는 각각 비접착(unbonded)과 접착(bonded) 편향부를 의미하고, 아래첨자 T는 텐던을 나타낸다. PS 강재보를 편향부에 따른 m개의 구간으로 분할하여 식 (2)를 각각의 분할구간에 대하여 적분하면 강재보의 변형에너지는 식 (5)와 같고, 아래첨자 B는 강재보를 의미한다.

여기서, 휨모멘트 M₃는 부재축을 따라 일정하므로 전단력 F₂ = 0이고, 외력모멘트 M과 텐던의 긴장력 H 및 편심거리 e의 관계식 M₃(l) = M – He를 고려하면 PS 강재보의 총 포텐셜 에너지는 편향부의 비접착조건 및 접착조건에 대하여 각각 식 (6a), 식 (6b)와 같이 유도된다.

여기서,

텐던과 편향부의 접착/비접착 두 가지 조건에 대한 총 포텐셜 에너지 식 (6)을 적용하면, 초기 긴장력(H_o), 압축력(P), 휨모멘트(M)를 받는 PS 강재보의 면내 변형에 대한 선형해석을 수행할 수 있다. 우선, 초기 긴장력만 재하되는 LC1에서 변형의 적합조건은 식 (7a) 및 식 (7b)와 같다^[17]. 또한, 초기 긴장력(H_o), 압축력(P), 휨모멘트(M)에 의한 텐던의 장력(H)은 식 (8)과 같이 산정된다.

여기서,

결과적으로 부재력 성분인 축력, 휨모멘트, 전단력은 식 (9)와 같다.

상기 식 (7) - 식 (9)는 단순지지 및 Cantilever 지지조건에서 임의의 개수를 갖는 비접착 편향부를 갖는 PS 강재보에서 성립한다^[18]. 접착 편향부의 경우 식 (7), 식 (8)은 식 (10a) 및 식 (10b)와 같이 수정되어 적용할 수 있다.

식 (10)에서 H1=…=Hm=H, ∑i=1mli=l, ∑i=1mlci=lc의 조건이 성립한다. 세 가지 외력 조건에서 부재력에 대한 면내 선형해석결과는 Table 1에 제시되어있다.

Fig. 3와 같이 m–1개의 편향부를 갖는 단순지지보에서 비편심 케이블(Fig. 3(a)) 및 편심 케이블(Fig. 3(b))을 갖는 PS 강재보에 축력과 휨모멘트가 작용하고 있다. 본 장에서는 PS 강재보의 면내 및 면외 좌굴 안정성에 대한 유한요소해석에 대한 정식화 과정을 기술하였다.

Fig. 3. 
PS beam with deviators under H_o, P and M

5.1 PS 강재보의 유한요소해석모델

PS 강재보에 설치되는 편향부를 강체로 가정하였고, 텐던의 포텐셜 에너지를 강재보의 변위성분에 대하여 유도하였기 때문에, 3차원 좌굴해석을 위하여 강재보만 유한요소해석모델에 포함된다. 특히, 식 (6)의 총 포텐셜 에너지 항들은 면내 및 면외 성분으로 구분되므로, 면내 및 면외 좌굴거동을 구분하여 정식화한다.

Fig. 4는 m개의 분할구간과 각 분할구간에서 n개의 박벽 보 요소로 모델링되어 총 N(= m × n)개의 유한요소로 이산화된 PS 강재보이다. 각 분할구간에서 절점의 수는 n + 1개이고 전체 모델에서 총 절점수는 N + 1개이다. 또한 Fig. 5(a)는 면내 좌굴해석을 위한 절점 당 두 개의 자유도(2-DOF, 면내횡변위와 면내회전변위) 성분을 갖고 있는 요소를 나타내고, Fig. 5(b)는 면외 좌굴해석을 위한 절점 당 네 개의 자유도(4-DOF, 면외 횡변위, 면외 회전변위, 비틀림변위, 뒴[warping]변위) 성분을 갖고 있는 요소이다.

Fig. 4. 
FE modeling of PS beams (30 elements)

Fig. 5. 
j-th thin-walled beam element